Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角梯形OABC，BC∥OA，A（21，0），C（0，8），OB=10，點P在線段AO上運動，以點P為圓心作⊙P，使⊙P始終與AB邊相切，切點為Q，設(shè)⊙P的半徑為8x，
（1）求點S_△OAB的面積及AB；
（2）用x的代數(shù)式表示AP，并求出x的取值范圍；
（3）請分別求出滿足下列三個要求的x的值（寫出簡單的計算過程）
①點O在⊙P上；
②若⊙O的半徑為16；⊙P與⊙O相切；
③⊙P與AB、OB都相切．

Answer 1

考點：圓的綜合題,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì),相切兩圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1，根據(jù)勾股定理可求出BC長，易證四邊形BCOH是矩形，從而可求出BH、OH、AH的長，就可解決問題．
（2）過點B作BH⊥OA于H，過點B作BS⊥AB交OA于S，如圖2，易證△PQA∽△BHA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可用x的代數(shù)式表示AP長，由于⊙P始終與AB邊相切，只需求出點B是切點時AP所對應(yīng)的最大值A(chǔ)S，就可求出x的取值范圍．
（3）①由條件可得OP=8x=21-17x，解這個方程就可得到對應(yīng)的x的值；②可分⊙P與⊙O相外切和內(nèi)切兩種情況進(jìn)行討論，就可求出對應(yīng)的x的值；③設(shè)⊙P與AB、OB分別相切于點F、E，連接PF、PE、BP，如圖3．依據(jù)S_△OAB=S_△ABP+S_△OBP建立關(guān)于x的方程，就可求出對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1，
∵四邊形OABC是直角梯形，∴∠BCO=90°．
∵C（0，8），即OC=8，OB=10，
∴BC=6．
∵∠BCO=∠COH=∠BHO=90°，
∴四邊形BCOH是矩形．
∴BH=OC=8，OH=BC=6．
∵A（21，0），即OA=21，∴AH=21-6=15．
在Rt△BHA中，
AB=

BH2+AH2

=

82+152

=17．
∴S_△OAB=

1

2

OA•BH=

1

2

×21×8=84．

（2）過點B作BH⊥OA于H，過點B作BS⊥AB交OA于S，如圖2，
∵⊙P與AB相切于點Q，∴PQ⊥AB．
∴∠AQP=∠BHA=90°．
∵∠QAP=∠HAB，
∴△PQA∽△BHA．
∴

PQ

BH

=

AP

AB

．
∴

8x

8

=

AP

17

．
∴AP=17x．
∵BS⊥AB，BH⊥OA，
∴∠BHA=∠SBA=90°．
∵∠BAH=∠SAB，
∴△BHA∽△SBA．
∴

AB

AS

=

AH

AB

．
∴

17

AS

=

15

17

．
∴AS=

289

15

．
∵⊙P始終與AB邊相切，∴0＜AP≤AS．
∵點P在線段AO上運動，∴0≤AP≤AO．
∴0＜AP≤AS．
∴0＜17x≤

289

15

．
∴0＜x≤

17

15

．
∴AP=17x，0＜x≤

17

15

．

（3）①若點O在⊙P上，則OP=PQ=8x．
∴8x=21-17x．
解得：x=

21

25

．
②若⊙O的半徑為16，且⊙P與⊙O相切，
Ⅰ．當(dāng)⊙P與⊙O外切時，
則有OP=8x+16=21-17x．
解得：x=

1

5

．
Ⅱ．當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時，
則有OP=

.

8x-16

.

=21-17x．
x=

5

9

或x=

37

25

．
∵0＜x≤

17

15

，
∴x=

5

9

．
綜上所述：滿足要求的x的值為

1

5

或

5

9

．
③若⊙P與AB、OB都相切，
設(shè)⊙P與AB、OB分別相切于點F、E，連接PF、PE、BP，如圖3．
則有PF⊥AB，PE⊥OB．
∵S_△OAB=S_△ABP+S_△OBP，
∴84=

1

2

×17×8x+

1

2

×10×8x．
解得：x=

7

9

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的思想．而解題中所采用的面積法是求垂線段長度常用的一種方法，應(yīng)掌握它．本題是一道易錯題，容易把“⊙P始終與AB邊相切”與“⊙P始終與直線AB相切”相混淆，需注意．