Question

17．已知：如圖，矩形ABCD的一條邊AB=10，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，折痕為AO．
（1）求證：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可判定．
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，得到AD=2PC，設(shè)PC=x，則AD=2x，在RT△ADP中利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC，
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，
∴△OCP∽△PDA．
（2）解：∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DA=2CP．設(shè)PC=x，則AD=2x，PD=10-x，AP=AB=10，
在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD ²+AD²=AP²，
∴（10-x）²+（2x）²=10²，
解得：x=4，
∴AD=2x=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，學(xué)會(huì)用方程的思想解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考�？碱}型．