Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在BC上，且∠DAE=45°，求證：CD²+BE²=DE²．

Answer 1

考點：旋轉的性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：根據等腰直角三角形的性質得∠2=∠C=45°，再把△ACD繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，如圖，根據旋轉的性質得∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，接著證明∠EAD=∠EAF，然后根據“SAS”可判斷△ADE≌△ADF，得到DE=FE；由于∠FBE=∠1+∠2=90°，根據勾股定理得BE²+BF²=EF²，然后利用等線段代換即可得到結論．

解答：證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACD繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，如圖，則∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=45°，即∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中

AE=AE ∠EAD=∠EAF AD=AF

，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵∠FBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∴CD²+BE²=DE²．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質．