Question

6．如圖，⊙O與過點O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一點，射線OD交⊙O于點E，交AB延長線于點C．如果AB=24，tan∠AOP=$\frac{2}{3}$．
（1）求⊙P的半徑長；
（2）當△AOC為直角三角形時，求線段OD的長；
（3）設(shè)線段OD的長度為x，線段CE的長度為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及其定義域．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)OP的延長線交AB于點H，連接AP，由垂徑定理可求得AH的長，然后由三角函數(shù)，求得OH的長，再設(shè)⊙P的半徑為r，由在Rt△AHP中，AH²+PH²=AP²，即可求得答案；
（2）首先過點P作PG⊥OD于點G，求得OA的長，易證得△PGO∽△OHA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案；
（3）首先過點H作HI⊥OC于點I，可得PG∥HI，然后由平行線分線段成比例定理，求得OI，再由△OHI∽△OCH，求得答案．

解答 解：（1）設(shè)OP的延長線交AB于點H，連接AP，
∵AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，tan∠AOP=$\frac{2}{3}$，
∴OH=$\frac{AH}{tan∠AOP}$=18，
設(shè)⊙P的半徑為r，
在Rt△AHP中，AH²+PH²=AP²，
∴（18-r）²+12²=r²，
解得：r=13，
答：⊙P的半徑長為13；

（2）過點P作PG⊥OD于點G，
則OA=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{8}^{2}}$=6$\sqrt{13}$，
∵∠AOC=90°，
∴∠POG+∠AOH=90°，
∵∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠POG=∠OAH，
∴△PGO∽△OHA，
∴$\frac{OG}{AH}=\frac{OP}{OA}$，
即$\frac{OG}{12}$=$\frac{13}{6\sqrt{13}}$，
解得：OD=4$\sqrt{13}$；

（3）如圖2，過點H作HI⊥OC于點I，則OE=OA=6$\sqrt{13}$，
∴PG∥HI，
∴$\frac{OG}{OI}=\frac{OP}{OH}$，
即$\frac{\frac{1}{2}x}{OI}=\frac{13}{18}$，
∴OI=$\frac{9}{13}$x，
∵∠O是公共角，∠OUH=∠OHC=90°，
∴△OHI∽△OCH，
∴$\frac{OH}{OC}=\frac{OI}{OH}$，
∴$\frac{18}{\frac{9}{13}x}=\frac{y+6\sqrt{13}}{18}$，
∴y=$\frac{468}{x}$-6$\sqrt{13}$（0＜x＜6$\sqrt{13}$）．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．