如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)O（0，0），A（8，0），B（2，2
3
）三點(diǎn)，弧AB與OA交于C，弧AB所在的圓的圓心點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧AB上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若OC=OB，試問(wèn)點(diǎn)E是否在這條拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的位置P和x軸上的一點(diǎn)M，使得△APB與△AMP相似？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：
分析：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)O（0，0），A（8，0），B（2，2
3
）三點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求這條拋物線的解析式；
（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可求點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6，2
3
)，再代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）存在，△PBA的三個(gè)角分別為15°，45°，120°，由E（6，2
3
）．分四種情況：�。c(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)；ⅱ．連結(jié)EP；ⅲ．P（6，-4+2
3
），B（2，2
3
）；ⅳ．∠PM4A=120°；進(jìn)行討論即可求解．
解答：解：（1）把O（0，0），代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中，得c=0                 
把A（8，0），B（2，2
3
），分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx中，得
64a+8b=0
4a+2b=
3

解得
a=-
3
6
b=
4
3
3
．                                                  
所以這條拋物線解析式y(tǒng)=-
3
6
x2+
4
3
3
x；
（2）∵OC=OB，
∴點(diǎn)C（4.0）
AC的中垂線x=6  
BC的中垂線y=
3
3
x
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6，2
3
)，
當(dāng)x=6時(shí)，y=-
3
6
×62+
4
3
3
×6=2
3

則點(diǎn)E在拋物線上．                                                
（3）存在，△PBA的三個(gè)角分別為15°，45°，120°                
由E（6，2
3
）．
�。c(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，
AM1=AB，
則△APB∽△APM1
AB=8×
3
2
=4
3

OM1=8-4
3
，
∴M1（8-4
3
，0）
ⅱ．連結(jié)EP，
∠PEA=90°，
AP=4
2

AM
AP
=
AP
AB
?AM=
(4
2
)2
4
3
=
8
3
3

OM2=8-
8
3
3
，
∴M2（8-
8
3
3
，0）
ⅲ．P（6，-4+2
3
），B（2，2
3
）
∠PM3A=45°
OM3=6-（4-2
3
）=2+2
3
，
∴M3（2+2
3
，0）
ⅳ．∠PM4A=120°
OM4=
3
3
（4-2
3
）+6-=4+
4
3
3
，
∴M4（4+
4
3
3
，0）
綜上，M1（8-4
3
，0），M2（8-
8
3
3
，0），M3（2+2
3
，0），M4（4+
4
3
3
，0）．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，中垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BD交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=4，ED=8，求⊙O的半徑．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

閱讀短文：利用列方程可將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，如求0.
•
5
=？
方法是：設(shè)x=0.
•
5
，即x=0.555…，將方程兩邊同乘以10，
得10x=5.55…，即10x=5+0.555…，
而x=0.555…，∴10x=5+x∴x=
5
9
．∴0.
•
5
=
5
9

試根據(jù)上述方法：將0.
•
3
•
6
化為分?jǐn)?shù)．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∠DAB=60°．AB與DE有什么關(guān)系？為什么？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程x2+4x-12=0的兩個(gè)根．拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且OC=AB．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）對(duì)于（3），試說(shuō)明S是否存在最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出此值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

今年風(fēng)調(diào)雨順，荔枝大豐收，下面是一對(duì)農(nóng)民父子的對(duì)話內(nèi)容，根據(jù)對(duì)話內(nèi)容分別求出該農(nóng)戶今年兩個(gè)果園的荔枝產(chǎn)量分別是多少千克？
父親：咱家兩果園去年荔枝產(chǎn)量一共是1500千克，今年雨水充沛，荔枝大豐收，今年兩個(gè)果園的產(chǎn)量一共是2700千克．
兒子：今年，第一個(gè)果園的產(chǎn)量比去年增加500千克，第二個(gè)果園的產(chǎn)量比去年增產(chǎn)70%．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，將?ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F，連接AC、BE．
（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求證：四邊形ABEC是矩形．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D（4-4
2
，0）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過(guò)t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；
（3）在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)G，使得S△GCB=S△GCA，再在拋物線上找點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

蠟燭長(zhǎng)20厘米，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5厘米，燃燒時(shí)剩下的高度y厘米與燃燒時(shí)間x小時(shí)（0≤x≤4）的關(guān)系式可以表示為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案