Question

提出問(wèn)題：如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC與點(diǎn)E，求證：PB=PE
分析問(wèn)題：學(xué)生甲：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N通過(guò)證明兩三角形全等，進(jìn)而證明兩條線段相等．
學(xué)生乙：連接DP，如圖2，很容易證明PD=PB，然后再通過(guò)“等角對(duì)等邊”證明PE=PD，就可以證明PB=PE了．
解決問(wèn)題：請(qǐng)你選擇上述一種方法給予證明．
問(wèn)題延伸：如圖3，移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，PB=PE還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：對(duì)于圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，則四邊PMCN為矩形，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PM=PN，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN，則PB=PE；
對(duì)于圖2，連結(jié)PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，CA平分∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠BCP=∠DCP，再根據(jù)“SAS”證明△CBP≌△CDP，則PB=PD，∠CBP=∠CDP，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBC=∠PED，則∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD；
對(duì)于圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四邊PMCN為矩形，PM=PN，則∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．

解答：證明：如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠CEP=180°，
而∠CEP+∠PEN=180°，
∴∠PBM=∠PEN，
在△PBM和△PEN中

∠PMB=∠PNE ∠PBM=∠PEN PM=PN

∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE；

如圖2，連結(jié)PD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，CA平分∠BCD，
∴∠BCP=∠DCP，
在△CBP和△CDP中

CB=CD ∠BCP=∠DCP CP=CP

，
∴△CBP≌△CDP（SAS），
∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠CEP=180°，
而∠CEP+∠PEN=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PD；

如圖3，PB=PE還成立．
理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，
∴∠MPN=90°，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠BPM+∠MPE=90°，
而∠MEP+∠EPN=90°，
∴∠BPM=∠EPN，
在△PBM和△PEN中

∠PMB=∠PNE ∠BPM=∠EPN PM=PN

，
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問(wèn)題．