Question

矩形ABCD中，AB=3AD，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接FC．
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由矩形ABCD中，可得∠A=∠D=90°，又由EF⊥EC，易得∠AFE=∠DEC，則可證得△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，矩形ABCD中，AB=3AD，E為AD的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得：EF：CE=1：6，則可求得tan∠ECF的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵AB=3AD，E為AD的中點(diǎn)，
∴AE：DC=1：6，
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

DC

=

1

6

，
∴tan∠ECF=

EF

CE

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．