Question

已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD⊥AD，垂足為D，連CD．求證：
（1）∠CDA=45°；
（2）AD-BD=

2

CD．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)BD⊥AD，可得∠ADB=90°，然后根據(jù)∠ACB=90°，證得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得出∠CDA=∠ABC，又根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，可得出∠CDA=45°；
（2）在AD上取點(diǎn)E，使AE=BD，可得DE=AD-BD，然后根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓得出∠1=∠2，證得△ACE≌△BCD，然后得出∠3=∠4，又根據(jù)∠ACB=∠3+∠BCE=90°，可得∠4+∠BCE=∠ECD=90°，結(jié)合（1）中結(jié)論，得出CD=CE，然后在Rt△DCE中，證得AD-BD=

2

CD．

解答：（1）證明：如圖所示，∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠CDA=∠ABC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CDA=∠ABC=45°；
（2）解：在AD上取點(diǎn)E，使AE=BD，則DE=AD-BD，
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，
∵

AE=BD ∠1=∠2 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠3+∠BCE=90°，
∴∠4+∠BCE=∠ECD=90°，
由（1）知，∠CDA=45°，
∴CD=CE，
則Rt△DCE中，
∵CD²+CE²=DE²，
∴DE=

2

CD，
∴AD-BD=

2

CD．

點(diǎn)評：本題考查了四點(diǎn)共圓，涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)兩個直角證得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，難度較大．