Question

【題目】如圖1,已知拋物線與軸交于A,B（點A在點B的右邊），與軸交于點C.過A,C兩點作直線，P是拋物線上的動點，過P作PD⊥軸，垂足為D，交直線于點E.設點P的橫坐標為.

（1）求直線的函數表達式;

（2）問是否存在點P，使O,E,C,P四點能構成平行四邊形,若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，過A點作直線⊥,連接OE,作△AOE的外接圓,交直線于點F,連接OF,EF.當△EOF的面積最小時,求點P的坐標和最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在（3）P( 2,6)， 最小值為4

【解析】（1）將A，C的坐標代入函數解析式，解二元一次方程即可求出函數表達式；（2）由題意已知P、E的坐標，又由P作PD⊥x軸，要使O，E，C，P四點能構成平行四邊形，只需PE=0C=4即可，可分當點P在直線的上（下）方求出m；（3）先證明△OEF為等腰直角三角形，求出S△OEF的面積，即可求出最小值.

解：（1）由題得:A(4,0), C(0，4)

設直線的表達式為 故得：

∴

∴直線的表達式為：

（2）

答: 存在.

由題可知:

∵PD⊥軸 ∴PE∥軸

∴ 要使O,E,C,P四點能構成平行四邊形只需PE=0C=4即可

可分以下兩種情形：

(1)當點P在直線的上方（）時

PE=

解得：

（2）當點P在直線的下方（或）

PE=

解得：

由上知：當或時，存在點P，使O,E,C,P四點能構成平行四邊形

先證明△OEF為等腰直角三角形

得出

當 OE⊥直線時，OE的長度最短

∴ P( 2,6)， 最小值為4

“點睛”此題主要考查了二次函數的有關知識，是一道綜合性較強的考題，主要考查學生數形結合的數學思想方法，以及分類討論思想的應用，解題時應注意不要漏解.