Question

9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t≤4）．
（1）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，①求證：$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$；②求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=PB；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于$\frac{9}{5}$cm²．

Answer 1

分析 （1）①只要證明△QBP∽△ABC即可，②代入比例式可以求出t．
（2）由△BPD∽△BAC得$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BA}$列出方程即可求出t．
（3）由△BPE∽△BAC得$\frac{BP}{AB}=\frac{PE}{AC}$求出PE，代入三角形面積公式即可．

解答 解：（1）①∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠BPQ=∠C=90°，
∵∠QBP=∠ABC，
∴△QBP∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
②在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由①知，BP•BA=BQ•BC，
∴5（5-t）=4t，解得 t=$\frac{25}{9}$．
（2）當(dāng)PB=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D（如圖4），則BD=DQ，PD∥AC．
∴△BPD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{1}{2}$t•5=4（5-t），解得 t=$\frac{40}{13}$，
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，則PE∥AC（如圖5）．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{PE}{AC}$，即 $\frac{5-t}{5}=\frac{PE}{3}$，解得 PE=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PE=$\frac{9}{5}$，即 $\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$（5-t）=$\frac{9}{5}$，
整理，得t²-5t+6=0．解這個(gè)方程，得t₁=2，t₂=3，
∵0＜t≤4，∴當(dāng)t為2s或3s時(shí)．△PBQ的面積等于$\frac{9}{5}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行成比例等知識(shí)，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問(wèn)題，靈活運(yùn)用相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．