Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，⊙O為△ABC外接圓，I為△ABC的內(nèi)心．
（1）求BO的長；
（2）求BI的長．

Answer 1

分析 （1）連接AO，且延長AO交BC于D，連接OB、OC，求出AD⊥BC，BD=DC，根據(jù)勾股定理求出AD，在Rt△OBD中，由勾股定理得出OB²=OD²+BD²，代入求出即可；
（2）作△ABC的內(nèi)切圓I，過點I作ID⊥BC，垂足為D．先利用面積法求得ID=$\frac{10}{3}$，然后再Rt△BDI中依據(jù)勾股定理求得IB的長即可．

解答 解：（1）如圖1所示：連接AO，且延長AO交BC于D，連接OB、OC．

∵AB=AC，O為△ABC外接圓的圓心，
∴AD⊥BC，BD=DC，
BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=5，
設(shè)等腰△ABC外接圓的半徑為R，
則OA=OB=OC=R，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，即R²=（12-R）²+5²，
解得：R=$\frac{169}{24}$，
∴BO=$\frac{169}{24}$；
（2）如圖2所示：作△ABC的內(nèi)切圓I，過點I作ID⊥BC，垂足為D．

設(shè)圓I的半徑為r，根據(jù)題意得$\frac{1}{2}BC•AD=\frac{1}{2}（AB+BC+AC）•r$，即$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×36×r$．
解得：r=$\frac{10}{3}$．
∵BC是圓I的切線，
∴ID⊥BC．
在Rt△BID中，由勾股定理得：BI=$\sqrt{I{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{10}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心和外心、勾股定理掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．