Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線：()經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸上的點(diǎn)，，．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)，求；

（3）將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）拋物線為：或．

【解析】

（1）根據(jù)題意，可以寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可以得到該拋物線的表達(dá)式；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可以求得直線AM的函數(shù)解析式，從而可以求得S△AOM；

（3）根據(jù)題意，利用分類(lèi)討論的方法和三角形相似的知識(shí)可以求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而可以求得拋物線C2的表達(dá)式．

解：（1）過(guò)作軸，垂足為，

∵，∴

∵

∴，．

∵，

∴．

在中，，

∴．

∴

∵拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴可得：，

解得：

∴這條拋物線的表達(dá)式為；

（2）過(guò)作軸，垂足為，

∵=

∴頂點(diǎn)是，得

設(shè)直線AM為y=kx+b，

把，代入得，解得

∴直線為

令y=0，解得x=

∴直線與軸的交點(diǎn)為

∴

（3）∵、，

∴在中，，

∴．

∴．由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性得：，

∴．

∵，

∴

∴．

∴當(dāng)與相似時(shí)，有：或

即或，

∴或．

∴或

設(shè)向上平移后的拋物線為：，

當(dāng)時(shí)，，

∴拋物線為：

當(dāng)時(shí)，，

∴拋物線為：．

綜上：拋物線為：或．