Question

如圖，拋物線y=-

1

6

x2+

5

6

x+4與直線y=

1

2

x+

3

2

交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是直線x=1上一點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立，組成一個方程組求得x、y的值即可得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個．因而分三類情形探求．
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB；②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB；③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．綜上得出符合條件的點(diǎn)．

解答：解：（1）由題意得：

y=- 1 6 x2+ 5 6 x+4 y= 1 2 x+ 3 2

解得：

x=-3 y=0

或

x=5 y=4

∴A（-3，0）B（5，4）

（2）存在符合條件的點(diǎn)P共有4個．以下分三類情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x軸，BC=AC，
設(shè)直線x=1與x軸交于N，與CB交于M，
過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=4，BM=4，
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80，
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

80-42

=8，
∴P₁（1，-8）或P₁′（1，8），
②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中，MP₂=

BP22-BM2

80-42

=8，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點(diǎn)C．
過點(diǎn)P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=1，
∴CK=2，于是OK=2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在線段AB上，構(gòu)不成三角形，舍去．
綜上，符合條件的點(diǎn)P共有4個，分別為：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，需根據(jù)三角形的頂點(diǎn)分類討論，全面考慮點(diǎn)P所在位置的各種情況．