Question

14．如圖，直線y=$\frac{1}{2}x+2$與y軸交于點(diǎn)A，與直線y=-$\frac{1}{2}x$交于點(diǎn)B，以AB為邊向右作菱形ABCD，點(diǎn)C恰與原點(diǎn)O重合，拋物線y=（x-h）²+k的頂點(diǎn)在直線y=-$\frac{1}{2}x$上移動(dòng)．若拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點(diǎn)，則h的取值范圍是（　�。�

• A． -2$≤h≤\frac{1}{2}$
• B． -2≤h≤1
• C． -1$≤h≤\frac{3}{2}$
• D． -1$≤h≤\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 將y=$\frac{1}{2}x+2$與y=-$\frac{1}{2}x$聯(lián)立可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由拋物線的頂點(diǎn)在直線y=-$\frac{1}{2}x$可求得k=-$\frac{1}{2}h$，于是可得到拋物線的解析式為y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h，由圖形可知當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)拋物線與菱形的邊AB、BC均有交點(diǎn)，然后將點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得h的值，從而可判斷出h的取值范圍．

解答 解：∵將y=$\frac{1}{2}x+2$與y=-$\frac{1}{2}x$聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，1）．
由拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
∵將x=h，y=k，代入得y=-$\frac{1}{2}x$得：-$\frac{1}{2}$h=k，解得k=-$\frac{1}{2}h$，
∴拋物線的解析式為y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h．
如圖1所示：當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)．

將C（0，0）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：h²-$\frac{1}{2}$h=0，解得：h₁=0（舍去），h₂=$\frac{1}{2}$．
如圖2所示：當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)．

將B（-2，1）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：（-2-h）²-$\frac{1}{2}$h=1，整理得：2h²+7h+6=0，解得：h₁=-2，h₂=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
綜上所述，h的范圍是-2≤h≤$\frac{1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了一次函數(shù)的交點(diǎn)與一元二次方程組的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，通過(guò)平移拋物線探究出拋物線與菱形的邊AB、BC均有交點(diǎn)時(shí)拋物線經(jīng)過(guò)的“臨界點(diǎn)”為點(diǎn)B和點(diǎn)C是解題解題的關(guān)鍵．