Question

1．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)E在邊AC上，∠ADE=60°，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系式是∠BAD=∠CDE；
（2）如圖②，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE=∠B，點(diǎn)E在邊AC上
①若CE=BD，求證：△ABD≌△DCE；
②若△DEC是直角三角形，且AB=5，BC=8，求線段BD的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知求出即可；
（2）①求出∠BAD=∠CDE，根據(jù)AAS推出全等即可；
②分為兩種情況：∠DEC=90°或∠EDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出即可．

解答 （1）解：∠BAD=∠CDE，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD+∠BDA=180°-∠B=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠CDE+∠BDA=180°-∠ADE=120°，
∴∠BAD+∠BDA=∠CDE+∠BDA，
∴∠BAD=∠CDE，
故答案為：∠BAD=∠CDE；

（2）①如圖1，

證明：∵∠ADE=∠B，
∴BAD+∠BDA=180°-∠B，∠CDE+∠BDA=180°-∠ADE，
∴∠BAD+∠BDA=∠CDE+∠BDA，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}\\{∠B=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△DCE（AAS）；

②∵∠B=∠C，∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
如圖2，

當(dāng)∠DEC=90°時，
∵∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠C+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4；
如圖3，∠EDC=90°，

∵∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{5}{4}$×5=$\frac{25}{4}$．
綜合上述，當(dāng)△DEC是直角三角形時，BD的長度為4或$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．