Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），已知拋物線y＝﹣x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點(diǎn)為P．

（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）等腰Rt△AOB，點(diǎn)B在第四象限，且OA＝OB．當(dāng)拋物線與線段OB有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m滿足的條件；

（3）無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP＝45°，求此拋物線解析式．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣，)；（2）m＞2﹣3；（3）y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣

【解析】

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，可求m的值，即可求解；

（2）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，由拋物線與線段OB有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，可列不等式，可求解；

（3）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，則拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（2，﹣4），分點(diǎn)P在AH的左側(cè)或右側(cè)兩種情況討論，構(gòu)造全等三角形，求出BH解析式，即可求解．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴0＝﹣1+m﹣2m，

∴m＝﹣1，

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣，）；

（2）∵點(diǎn)A（1，0），OA＝OB，

∴點(diǎn)B（1，﹣1）

設(shè)直線OB的解析式為

將點(diǎn)B代入得

∴直線OB解析式為：y＝﹣x，

∵拋物線與線段OB有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴﹣x＝﹣x2+mx﹣2m，

∴△＝（m+1）2﹣8m＞0，

∴m＞2﹣3，或m＜﹣2﹣3，

∵拋物線與線段OB有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴

∴m≥0，

∴m＞2﹣3，

（3）∵當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，

∴拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（2，﹣4），

若點(diǎn)P在AH的左側(cè)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PH，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA，過(guò)點(diǎn)H作HC⊥BD于C，

∵∠AHP＝45°，AB⊥PH，

∴∠BAH＝∠AHB＝45°，

∴AB＝BH，

∵∠DBA+∠CBH＝90°，∠DBA+∠DAB＝90°，

∴∠DAB＝∠CBH，且AB＝BH，∠ADB＝∠BCH＝90°，

∴△DAB≌△CBH（AAS）

∴AD＝BC，BD＝CH，

∵BC+BD＝4，CH﹣AD＝1，

∴BD＝CH＝，BC＝AD＝，

∴點(diǎn)B（﹣，﹣）

設(shè)直線BH解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直線BH解析式為：y＝﹣x﹣，

∵y＝﹣x2+mx﹣2m

∴P（，）

∵點(diǎn)P（，）在直線BH上，

∴＝﹣×﹣

∴m1＝4，m2＝，

∵當(dāng)m＝4時(shí)，點(diǎn)P（2，﹣4）與點(diǎn)H重合，

∴m＝

∴拋物線解析式：y＝﹣x2+x﹣，

若點(diǎn)P在AH的右側(cè)，如圖2，

同理可求：直線BH解析式為：y＝x﹣，

∵點(diǎn)P（，）在直線BH上，

∴＝×﹣，

∴m1＝4，m2＝，

∴拋物線解析式：y＝﹣x2+x﹣，

綜上所述，拋物線解析式為y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣．