【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,點Aa0),Bm,n),Cp,n),其中mp0,n0,點A,C在直線y=﹣2x+10上,AC2,OB平分∠AOC

1)求OAC的面積;

2)求證:四邊形OABC是菱形;

3)射線OB上是否存在點P,使得PAC為直角三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1SAOC10;(2)見解析;(3)存在,理由見解析.P2,1)或(6,3).

【解析】

1)先根據(jù)點Aa,0)在直線y=-2x+10上,求得點A的坐標(biāo),在RtACE中,根據(jù)勾股定理列出方程(5-p2+n2=22,再根據(jù)點Cp,n)在直線y=-2x+10上,得到方程n=-2p+10,進(jìn)而求得np的值,根據(jù)點C的坐標(biāo),即可得出結(jié)論;

2)求得OC的長,最后根據(jù)菱形的定義判定四邊形OABC是菱形;

3)先判斷出∠APC=90°,再求出直線OB的解析式,利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可得出結(jié)論.

1Aa,0)在直線y=﹣2x+10上,

∴0=﹣2a+10,即a5,

A5,0),即OA5,

CCEOA于點E,

AEC90°AE5p,

Rt△ACE中,AE2+CE2AC2,

5p2+n2=(22,

Cp,n)在直線y=﹣2x+10上,

n=﹣2p+10,

5p2+(﹣2p+102=(22,

解得p13,p27,

當(dāng)p3時,n4;當(dāng)p7時,n=﹣4(舍去),

C3,4),SAOCOA×|yC|×5×410;

2)在Rt△OCE中,OC5,

OCOA,

OB平分AOC,

∴∠1∠2,

Bm,n),Cp,n),

BCx軸,

∴∠3∠2,

∴∠1∠3,

OCBC5,

OABC,且OABC,

四邊形OABC是平行四邊形,

OCOA,

平行四邊形OABC是菱形;

3)存在,理由:

如圖1,

四邊形OABC是菱形,

ADCD,ACOB,

A50),C34),

D42),B8,4),

設(shè)直線OB的解析式為ykx,

∴8k4,

k,

直線OB的解析式為yx,

設(shè)Pm,m),

DP|m4|,

∵△PAC為直角三角形,

∴∠APC90°,

DPADCDAC,

|m4|,

m2m6

P2,1)或(6,3).

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當(dāng)y1時,x21,∴x±1;

當(dāng)y   時,x2   ,∴x   ;

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小軍發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在5m3-35m3之間,有7戶居民對用水價格調(diào)價漲幅抱無所謂,不用考慮用水方式的改變. 根據(jù)小軍繪制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息,完成下列問題:

1n =________,小明調(diào)查了_____戶居民,并補全圖1

2)每月每戶用水量的中位數(shù)落在______之間,眾數(shù)落在_______之間;

3)如果小明所在的小區(qū)有1200戶居民,請你估計視調(diào)價漲幅采取相應(yīng)的用水方式改變的居民戶數(shù)有多少?

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