Question

1．如圖所示，△ABC內(nèi)有點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，若S_△OBD=1，S_△ACO=25，那么△ABC面積的最小值為36．

Answer 1

分析 設(shè)S_△AOB=S₁，S_△COD=S₂，根據(jù)不同底等高的三角形的面積得出$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，從而求得S₁•S₂=25，因?yàn)镾_△OBD=1，S_△ACO=25是固定的，所以S_△ABC的最小值，就是求S₁+S₂的最小值，故設(shè)S₁+S₂=b，把S₁，S₂作為一個(gè)二次函數(shù)的兩根，得出關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-bx+25，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知 b²-4ac=b²-4×25≥0，從而求得b的最小值，即可求得△ABC面積的最小值．

解答 設(shè)S_△AOB=S₁，S_△COD=S₂，
∵$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{{S}_{2}}{25}$，
∴S₁•S₂=25
因?yàn)镾_△OBD=1，S_△ACO=25是固定的，
∴S_△ABC的最小值，就是求S₁+S₂的最小值，
設(shè)S₁+S₂=b，
將其作為一個(gè)二次函數(shù)的兩根之和，兩根之積，
則有關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-bx+25，
a＞0，開(kāi)口向上，判別式 b²-4ac=b²-4×25≥0，
∴b≥10或b≤-10（舍去）
所以b=10
∴S_△ABC的最小值=10+1+25=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積，根據(jù)不同底等高的三角形的面積得出$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，從而求得S₁•S₂=25，從而進(jìn)一步得出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．