【題目】如圖①所示,直線L:y=m(x+10)與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點.

(1)當OA=OB時,試確定直線L的解析式;

(2)在(1)的條件下,如圖②所示,設Q為AB延長線上一點,作直線OQ,過A、B兩點分別作AMOQ于M,BNOQ于N,若AM=8,BN=6,求MN的長;

(3)當m取不同的值時,點B在y軸正半軸上運動,分別以OB、AB為邊,點B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角OBF和等腰直角ABE,連EF交y軸于P點,如圖③.

問:當點B在y軸正半軸上運動時,試猜想PB的長是否為定值?若是,請求出其值;若不是,說明理由.

【答案】(1)y=x+10(2)14(3)PB的長為定值, PB=5

【解析】

試題分析:(1)令y=0可求得x=﹣10,從而可求得點A的坐標,令x=0得y=10m,由OA=OB可知點B的縱坐標為10,從而可求得m的值;

(2)依據(jù)AAS證明AMO≌△ONB,由全等三角形的性質(zhì)可知ON=AM,OM=BN,最后由MN=AM+BN可求得MN的長;

(3)過點E作EGy軸于G點,先證明ABO≌△EGB,從而得到BG=10,然后證明BFP≌△GEP,從而得到BP=GP=BG.

解:(1)由題意知:A(﹣10,0),B(0,10m)

OA=OB,

10m=10,即m=1.

L的解析式y(tǒng)=x+10.

(2)AMOQ,BNOQ

∴∠AMO=BNO=90°

∴∠AOM+MAO=90°

∵∠AOM+BON=90°

∴∠MAO=NOB

AMO和ONB中,

,

∴△AMO≌△ONB.

ON=AM,OM=BN.

AM=8,BN=6,

MN=AM+BN=14.

(3)PB的長為定值.

理由:如圖所示:過點E作EGy軸于G點.

∵△AEB為等腰直角三角形,

AB=EB,ABO+EBG=90°.

EGBG,

∴∠GEB+EBG=90°.

∴∠ABO=GEB.

ABO和EGB中,

,

∴△ABO≌△EGB.

BG=AO=10,OB=EG

∵△OBF為等腰直角三角形,

OB=BF

BF=EG.

BFP和GEP中,

,

∴△BFP≌△GEP.

BP=GP=BG=5.

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