【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點,其頂點為D,連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與A、D重合).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)如圖1,過點P作PE⊥y軸于點E.求△PAE面積S的最大值;
(3)如圖2,拋物線上是否存在一點Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形?若存在求出Q點坐標,若不存在請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點D的坐標為(﹣1,4);(2)△PAE面積S的最大值是;(3)點Q的坐標為(﹣2+,2﹣4).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點,可以求得該拋物線的解析式,然后將函數(shù)解析式化為頂點式,從而可以得到該拋物線的頂點坐標,即點D的坐標;
(2)根據(jù)題意和點A和點D的坐標可以得到直線AD的函數(shù)解析式,從而可以設(shè)出點P的坐標,然后根據(jù)圖形可以得到△APE的面積,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PAE面積S的最大值;
(3)根據(jù)題意可知存在點Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形,然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點Q的坐標.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點,
∴ ,得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線的頂點坐標為(﹣1,4),
即該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點D的坐標為(﹣1,4);
(2)設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y=kx+m,
,得,
∴直線AD的函數(shù)解析式為y=2x+6,
∵點P是線段AD上一個動點(不與A、D重合),
∴設(shè)點P的坐標為(p,2p+6),
∴S△PAE==﹣(p+)2+,
∵﹣3<p<﹣1,
∴當p=﹣時,S△PAE取得最大值,此時S△PAE=,
即△PAE面積S的最大值是;
(3)拋物線上存在一點Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形,
∵四邊形OAPQ為平行四邊形,點Q在拋物線上,
∴OA=PQ,
∵點A(﹣3,0),
∴OA=3,
∴PQ=3,
∵直線AD為y=2x+6,點P在線段AD上,點Q在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴設(shè)點P的坐標為(p,2p+6),點Q(q,﹣q2﹣2q+3),
∴,
解得,或(舍去),
當q=﹣2+時,﹣q2﹣2q+3=2﹣4,
即點Q的坐標為(﹣2+,2﹣4).
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【題目】如圖,學校的實驗樓對面是一幢教學樓,小敏在實驗樓的窗口C測得教學樓頂部D的仰角為18°,教學樓底部B的俯角為20°,量得實驗樓與教學樓之間的距離AB=30m.
(1)求∠BCD的度數(shù).
(2)求教學樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
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【題目】在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)圖象交于A、B兩點,與y軸交于點C,與x軸交于點D,其中A點坐標為(﹣2,3).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式.
(2)若將點C沿y軸向下平移4個單位長度至點F,連接AF、BF,求△ABF的面積.
(3)根據(jù)圖象,直接寫出不等式﹣x+b>的解集.
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【題目】如圖1,矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點B落在CD邊上的P點處,已知折痕與邊BC交于點O,連結(jié)AP、OP、OA.
(1)求證:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
(3)如圖2,擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動點M在線段AP上(點M與點P、A不重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.探究:當點M、N在移動過程中,線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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【題目】如圖,將半徑為4,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點B、C的對應(yīng)點分別為點D、E且點D剛好在上,則陰影部分的面積為_____.
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【題目】現(xiàn)有一面12米長的墻,某農(nóng)戶計劃用28米長的籬笆靠墻圍成一個矩形養(yǎng)雞場ABCD(籬笆只圍AB、BC、CD三邊),其示意圖如圖所示.
(1)若矩形養(yǎng)雞場的面積為92平方米,求所用的墻長AD.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,=2.24)
(2)求此矩形養(yǎng)雞場的最大面積.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于點A(4,2),與y軸的負半軸交于點B,且OB=6.
(1)求函數(shù)y=和y=kx+b的解析式;
(2)已知直線AB與x軸相交于點C,在第一象限內(nèi),求反比例函數(shù)y=的圖象上一點P,使得S△POC=9.
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【題目】如圖,點A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點坐標為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當2m﹣5≤x≤2m﹣2時,y的最大值為2,求m的值.
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