Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，AE與BD交于點P，F是CD上一點，連接AF分別交BD，DE于點M，N且AF⊥DE，連接PN，則以下結(jié)論中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE．正確的是________．(填序號)

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先證ABM~FDM，利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；過點P作PH⊥AN于點H，根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出AP，AH的長，進(jìn)一步得PH，HN的長，由勾股定理即可求出PN的長，即可判斷②；分別求出EN，AN的長，即可判斷③；證明∠DPN≠∠PDE，即可判斷④．

∵正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，

∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠C=∠ADF=90°，CE=BE=1，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°，

∴∠DAF=∠CDE，

又∵AD=CD，∠ADF=∠DCE=90°，

∴ADFDCE（ASA），

∴DF=CE=1，

∵AB∥DF，

∴ABM~FDM，

∴，

∴S△ABM＝4S△FDM，故①正確；

∵AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠C=90°，

∴ABEDCE（SAS），

∴AE=DE=AF=，

∵，

∴DN=，

∴EN=DE-DN=-=，AN=，

∴tan∠EAF=，故③正確；

過點P作PH⊥AN于點H，

∵BE∥AD，

∴，

∴PA=，

∵tan∠EAF=，

∴sin∠EAF=，

∴PH=PAsin∠EAF=，

∵PH∥EN，

∴，

∴AH=，HN=AN-AH=，

∴PN=，故②正確；

∵PN≠DN，

∴∠DPN≠∠PDE，

∴△PMN與△DPE不相似，故④錯誤．

故答案是：①②③．