Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線上是否存在點P，使tan∠PBA=$\frac{1}{3}$？若存在，求點P坐標(biāo)及△PAB的面積．
（3）將△COB沿x軸負(fù)方向平移1.5個單位至△FGH處，求△FGH與△AOC的重疊面積．
（4）若點D、E分別是拋物線的對稱軸l上的兩動點，且縱坐標(biāo)分別為n，n+6，求CE+DB的最小值及此時D、E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），然后把C點坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）作PH⊥x軸于H，如圖1，設(shè)P（t，-t²-2t+3），分類討論：利用tan∠PBA=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{3}$得到$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，或$\frac{-（-{t}^{2}-2t+3）}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，然后分別解方程求出t得到P點坐標(biāo)，再利用三角形面積公式計算對應(yīng)的△PAB的面積；
（3）FG、FH分別交AC于N、M，如圖2，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-3x+3，再利用直線平移的規(guī)律得到直線FH的解析式為y=-3x-$\frac{3}{2}$，利用點平移的規(guī)律得到H（-$\frac{1}{2}$，0），G（-$\frac{3}{2}$，0），接著通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-\frac{3}{2}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$得M（-$\frac{9}{8}$，$\frac{15}{8}$），然后根據(jù)三角形面積公式，利用△FGH與△AOC的重疊面積=S_△MAO-S_△ANG進行計算即可；
（4）把C點沿y軸向下平移6個單位得到G（0，-3），連結(jié)AG交拋物線的對稱軸（直線x=-1）于D，連結(jié)DB，易得四邊形CEDG為平行四邊形，則DG=CE，由于DB+CE=DA+DG=AG，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷此時DB+CE最小，根據(jù)勾股定理可計算出最小值，接著求出直線AG的解析式，然后確定D點和E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2）存在．
作PH⊥x軸于H，如圖1，tan∠PBA=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)P（t，-t²-2t+3），
當(dāng)點P在x軸上方時，$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3t²+5t-8=0，解得t₁=1（舍去），t₂=-$\frac{8}{3}$，
此時P點坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$），S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\frac{11}{9}$=$\frac{22}{9}$；
當(dāng)點P在x軸下方時，$\frac{-（-{t}^{2}-2t+3）}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3t²+7t-10=0，解得t₁=1（舍去），t₂=-$\frac{10}{3}$，
此時P點坐標(biāo)為（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$），S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\frac{13}{9}$=$\frac{26}{9}$；
綜上所述，P點坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$），S_△PAB=$\frac{22}{9}$；P點坐標(biāo)為（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$），S_△PAB=$\frac{26}{9}$；
（3）FG、FH分別交AC于N、M，如圖2，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把C（0，3），B（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-3x+3，
把直線y=-3x+3向左平移$\frac{3}{2}$個單位得到直線FH的解析式為y=-3（x+$\frac{3}{2}$）+3=-3x-$\frac{3}{2}$，點B平移到H（-$\frac{1}{2}$，0），點O平移得到G（-$\frac{3}{2}$，0）
易得直線AC的解析式為y=x+3，△OAC為等腰直角三角形，則△ANG為等腰直角三角形，
所以NG=AG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-\frac{3}{2}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{8}}\\{y=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，則M（-$\frac{9}{8}$，$\frac{15}{8}$），
所以△FGH與△AOC的重疊面積=S_△MAO-S_△ANG=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$+3）×$\frac{15}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{32}$；
（4）把C點沿y軸向下平移6個單位得到G（0，-3），連結(jié)AG交拋物線的對稱軸（直線x=-1）于D，連結(jié)DB，如圖3，
則DB=DA，DE=CG，
所以四邊形CEDG為平行四邊形，則DG=CE，
所以DB+CE=DA+DG=AG，此時DB+CE最小，最小值為$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
設(shè)直線AG的解析式為y=px+q，
把A（-3，0），G（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3p+q=0}\\{q=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=-3}\end{array}\right.$，
所以直線AG的解析式為y=-x-3，
當(dāng)x=-1時，y=-x-3=-2，則D（-1，-2），E（-1，4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；記住三角形面積公式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；能利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題．