【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn).
(1)求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo);
(2)點(diǎn)E在x軸上,若以A,E,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)P作直線CD的垂線,垂足為Q,若將△CPQ沿CP翻折,點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為Q′.是否存在點(diǎn)P,使Q′恰好落在x軸上?若存在,求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1),點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,2)(2)P1(0,2);P2(,﹣2);P3(,﹣2)(3)存在,(),()
【解析】
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),
∴,解得:.
∴拋物線解析式為.
當(dāng)y=2時,,解得:x1=3,x2=0(舍去).
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,2).
(2)A,E兩點(diǎn)都在x軸上,AE有兩種可能:
①當(dāng)AE為一邊時,AE∥PD,∴P1(0,2).
②當(dāng)AE為對角線時,根據(jù)平行四邊形對頂點(diǎn)到另一條對角線距離相等,可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE(即x軸)的距離相等,∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2.
代入拋物線的解析式:,解得:.
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣2),(,﹣2).
綜上所述:P1(0,2);P2(,﹣2);P3(,﹣2).
(3)存在滿足條件的點(diǎn)P,顯然點(diǎn)P在直線CD下方.
設(shè)直線PQ交x軸于F,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),
①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(如圖1),CQ=a,
PQ=.
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∴△COQ′∽△Q′FP,
∴,即,解得F Q′=a﹣3
∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣(a﹣3)=3,
.
此時a=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為().
②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(如圖2)此時a<0,,<0,CQ=﹣a,(無圖)
PQ=.
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠CQ′O+∠OCQ′=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∠COQ′=∠Q′FP=90°.
∴△COQ′∽△Q′FP.
∴,即,解得F Q′=3﹣a.
∴OQ′=3,.
此時a=﹣,點(diǎn)P的坐標(biāo)為().
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(),().
(1)用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式,令y=2可得出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)分兩種情況進(jìn)行討論,①當(dāng)AE為一邊時,AE∥PD,②當(dāng)AE為對角線時,根據(jù)平行四邊形對頂點(diǎn)到另一條對角線距離相等,求解點(diǎn)P坐標(biāo).
(3)結(jié)合圖形可判斷出點(diǎn)P在直線CD下方,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),分情況討論,①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時,②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時,運(yùn)用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,0)、C(0,3),直線y=x與BC邊相交于D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo):
(2)若拋物線y=ax+bx經(jīng)過D、A兩點(diǎn),試確定此拋物線的表達(dá)式:
(3)P為x軸上方(2)題中的拋物線上一點(diǎn),求△POA面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正六邊形ABCDEF的邊長1,請僅用無刻度的直尺按要求畫圖.
(1)在圖1中,畫出一條長度為的線段;
(2)在圖2中,畫出一條長度為的線段,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,過點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)C,使∠BED=∠C.
(1)判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若AC=8,cos∠BED=,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年5月,以“尋根國學(xué),傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學(xué)少年強(qiáng)一國學(xué)知識挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開帷幕,小明晉級了總決賽.比賽過程分兩個環(huán)節(jié),參賽選手須在每個環(huán)節(jié)中各選擇一道題目.
第一環(huán)節(jié):寫字注音、成語故事、國學(xué)常識、成語接龍(分別用表示);
第二環(huán)節(jié):成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典通讀(分別用表示)
(1)請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果
(2)求小明參加總決賽抽取題目都是成語題目(成語故事、成語接龍、成語聽寫)的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)的圖象G經(jīng)過點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn)B,與圖象G交于點(diǎn)C.
(1)求m的值.
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,C之間的部分與線段BA,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當(dāng)直線l過點(diǎn)時,直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù).
②若區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)不少于4個,結(jié)合函數(shù)圖象,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明設(shè)計的“已知兩線段及一角作三角形”的尺規(guī)作圖過程.
已知:線段,及∠O .
求作:△ABC,使得線段,及∠O分別是它的兩邊和一角.
作法:如圖,
①以點(diǎn)O為圓心,長為半徑畫弧,分別交∠O的兩邊于點(diǎn)M ,N;
②畫一條射線AP,以點(diǎn)A為圓心,長為半徑畫弧,交AP于點(diǎn)B;
③以點(diǎn)B為圓心,MN長為半徑畫弧,與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)D;
④畫射線AD;
⑤以點(diǎn)A為圓心,長為半徑畫弧,交AD于點(diǎn)C;
⑥連接BC ,則△ABC即為所求作的三角形.
請回答:
(1)步驟③得到兩條線段相等,即 = ;
(2)∠A=∠O的作圖依據(jù)是 ;
(3)小紅說小明的作圖不全面,原因是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線﹔與軸交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為,直線.
(1)當(dāng)時,畫出直線和拋物線,并直接寫出直線被拋物線截得的線段長.
(2)隨著取值的變化,判斷點(diǎn)是否都在直線上并說明理由.
(3)若直線被拋物線截得的線段長不小于3,結(jié)合函數(shù)的圖像,直接寫出的取值范圍.
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