Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著AD、DC方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)以相同的速度沿著DC、CB的方向運(yùn)動(dòng)．

如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，連接BE、BF，試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

在的前提下，求EF的最小值和此時(shí)的面積；

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC邊上時(shí)，如圖2，連接BE、DF，交點(diǎn)為點(diǎn)M，連接AM，則大小是否變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】，證明見解析；的最小值是，；如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC邊上時(shí)，大小不發(fā)生變化，理由見解析.

【解析】

先證明和是等邊三角形，再證明≌，可得結(jié)論；

由≌，易證得是正三角形，繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到當(dāng)，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BE和EF的長(zhǎng)，并求此時(shí)的面積；

同理得：≌，則可得，所以，則A、B、M、D四點(diǎn)共圓，可得．

，

證明：、F的速度相同，且同時(shí)運(yùn)動(dòng)，

，

又四邊形ABCD是菱形，

，

，

，

是等邊三角形，

同理也是等邊三角形，

，

在和中，

，

≌，

；

由得：≌，

，

，

，

是等邊三角形，

，

如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小，此時(shí)EF最小，

，，

，

的最小值是，

中，，，

，

，

；

如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC邊上時(shí)，大小不發(fā)生變化，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

、B、M、D四點(diǎn)共圓，

．