Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點E，交⊙O于點F，連接BF、CF，∠D=∠BFC．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AC=8，EF=2．
①求⊙O的半徑；
②設AD=x，F(xiàn)D=y，求x，y的值．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）由OD⊥AC，∠D=∠BFC與圓周角定理，易求得∠EAD+∠BAC=90°，即可證得AD是⊙O的切線；
（2）①利用垂徑定理得到EC=

1

2

AC；然后在直角△OEA中，利用勾股定理來求FC的長度即可；
②在Rt△OAD和Rt△AED中，利用勾股定理列出關于x、y的方程，聯(lián)立方程組，解方程組即可．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠D=90°，
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠BAC，
∴∠BAC=∠D，
∴∠EAD+∠BAC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線；

（2）①設⊙O的半徑為r．
∵AC是弦，OD⊥AC于點E，AC=8，
∴EC=

1

2

AC=4，
∴在直角△OEA中，由勾股定理得到：r²=（r-2）²=4²，
解得 r=5．
即⊙O的半徑是5；
②在Rt△OAD和Rt△AED中得到：

x2=(y+5)2-52 x2=(y+2)2+42

，
解得

x= 20 3 y= 10 3

．

點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及勾股定理的應用．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．