Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上任意一點（點E不與點B、C重合），連結(jié)DE，點C關(guān)于DE的對稱點為C1，連結(jié)AC1并延長交DE的延長線于點M，F是AC1的中點，連結(jié)DF．

（猜想）如圖①，∠FDM的大小為　 　度．

（探究）如圖②，過點A作AM1∥DF交MD的延長線于點M1，連結(jié)BM．求證：△ABM≌△ADM1．

（拓展）如圖③，連結(jié)AC，若正方形ABCD的邊長為2，則△ACC1面積的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）2﹣2．

【解析】

（1）證明∠CDE=∠C1DE和∠ADF=∠C1DF，可得∠FDM=∠ADC=45°；

（2）先判斷出∠DAM1=∠BAM，由（1）可知：∠FDM=45°，進而判斷出∠AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出結(jié)論；

（3）先作高線C1G，確定△ACC1的面積中底邊AC為定值2，根據(jù)高的大小確定面積的大小，當(dāng)C1在BD上時，C1G最大，其△AC1C的面積最大，并求此時的面積．

（1）由對稱得：CD＝C1D，∠CDE＝∠C1DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C1D，

∵F是AC1的中點，

∴DF⊥AC1，∠ADF＝∠C1DF，

∴∠FDM＝∠FDC1+∠EDC1＝∠ADC＝45°；

故答案為：45；

（2）∵DF⊥AC1，

∴∠DFM＝90°，

∵AM1∥DF

∴∠MAM'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，

∴∠DAM1＝∠BAM，

由（1）可知：∠FDM＝45°

∵∠DFM＝90°

∴∠AMD＝45°，

∴∠M1＝45°，

∴AM＝AM1，

在：△ABM和△ADM1中，

∵，

∴△ABM≌△ADM1（SAS）；

（3）如圖，過C1作C1G⊥AC于G，則＝ACC1G，

在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，

∴AC＝＝2，即AC為定值，

當(dāng)C1G最大值，△AC1C的面積最大，

連接BD交AC于O，當(dāng)C1在BD上時，C1G最大，此時G與O重合，

∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，

∴C1G＝C1D﹣OD＝2﹣，

∴＝ACC1G＝×2（2﹣）＝2﹣2，

故答案為：2﹣2．