【題目】已知在四邊形中,∠A=∠C=90°.
(1)如圖1,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的鄰補角,請寫出BE與DF的位置關系,并證明.
(2)如圖2,若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角,判斷DE與BF位置關系并證明.
(3)如圖3,若BE、DE分別五等分∠ABC、∠ADC的鄰補角(即∠CDE=,∠CBE=),則∠E= .
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)54°
【解析】分析:(1)延長BE、FD交于G.由四邊形ABCD內(nèi)角和為360°及鄰補角定義,可得到∠ABC=∠CDN.由角平分線性質(zhì)得到∠ABE=∠FDN,進一步得到∠ABE=∠GDE,由三角形內(nèi)角和定理可得結論.
(2)連接DB.由四邊形ABCD內(nèi)角和為360°及鄰補角定義,可得到∠MBC+∠CDN=180°.由角平分線性質(zhì)得到∠CBF+∠CDE=90°,進一步得到∠EDB+∠DBF=180°,由平行線的判定可得結論.
(3)延長DC交BE于H.先求出∠CDE+∠CBE,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可.
詳解: (1) BE⊥DF .證明如下:
延長BE、FD交于G.在四邊形ABCD中,∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∵∠ADC+∠CDN=180°,∴∠ABC=∠CDN.
∵BE平分∠ABC,DF平分∠CDN,∴∠ABE=∠ABC,∠FDN=∠CDN,∴∠ABE=∠FDN.
又∵∠FDN=∠GDE,∴∠ABE=∠GDE.
又∵∠AEB=∠GED,∴∠A=∠G=90°,∴BE⊥DF.
(2)DE∥BF.證明如下:
連接DB.∵∠ABC+∠MBC=180°,∠ADC+∠CDN=180°.
又∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠MBC+∠CDN=180°.
∵BF、DE平分∠ABC、∠ADC的鄰補角,∴∠CBF=∠MBC,∠CDE=∠CDN,∴∠CBF+∠CDE=90°.
在Rt△BDC中,∵∠CDB+∠DBC=90°,∴∠CDB+∠DBC+∠CBF+∠CDE=180°,∴∠EDB+∠DBF=180°,∴DE∥BF.
(3)延長DC交BE于H.由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°.∵BE、DE分別五等分∠ABC、∠ADC的外角,∴∠CDE+∠CBE=×180°=36°,由三角形的外角性質(zhì)得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE,∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E,∴∠E=90°﹣36°=54°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y1=2x+3與直線l2:y2=kx﹣1相交于點A,A橫坐標為﹣1,且直線l1與x軸交于B點,與y軸交于D點,直線l2與y軸交于C點.
(1)求出A點的坐標及直線l2的解析式;
(2)連接BC,求出S△ABC.
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【題目】已知邊長為m的正方形面積為12,則下列關于m的說法中,錯誤的是( )
①m是無理數(shù);②m是方程m2 -12=0的解;③m滿足不等式組,④m是12的算術平方根.
A. ①② B. ①③ C. ③ D. ①②④
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【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC相交于點D,E,BD=CD,過點D作⊙O的切線交邊AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為5,∠CDF=30°,求 的長(結果保留π).
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【題目】現(xiàn)在,蘇寧商場進行促銷活動,出售一種優(yōu)惠購物卡(注:此卡只作為購物優(yōu)惠憑證不能頂替貨款),花300元買這種卡后,憑卡可在這家商場按標價的8折購物.
(1)顧客購買多少元金額的商品時,買卡與不買卡花錢相等?在什么情況下購物合算?
(2)小張要買一臺標價為3500元的冰箱,如何購買合算?小張能節(jié)省多少元錢?
(3)小張按合算的方案,把這臺冰箱買下,如果商場還能盈利25%,這臺冰箱的進價是多少元?
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【題目】某校開展了“我最喜愛的老師”評選活動.確定如下評選方案:有學生和教師代表對4名候選教師進行投票,每票選1名候選教師,每位候選教師得到的教師票數(shù)的5倍與學生票數(shù)的和作為該教師的總票數(shù).以下是根據(jù)學生和教師代表投票結果繪制的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖(不完整). 學生投票結果統(tǒng)計表
候選教師 | 丁老師 | 俞老師 | 李老師 | 陳老師 |
得票數(shù) | 200 | 300 |
(1)若共有25位教師代表參加投票,則李老師得到的教師票數(shù)是多少?請補全條形統(tǒng)計圖.(畫在答案卷相對應的圖上)
(2)丁老師與李老師得到的學生總票數(shù)是600,且丁老師得到的學生票數(shù)是李老師得到的學生票數(shù)的3倍多40票,求丁老師與李老師得到的學生票數(shù)分別是多少?
(3)在(1)、(2)的條件下,若總得票數(shù)較高的2名教師推選到市參評,你認為推選到市里的是兩位老師?為什么?
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【題目】已知:如圖,BD=DE=EF=FG.
(1)若∠ABC=20°,∠ABC內(nèi)符合條件BD=DE=EF=FG的折線(如DE、EF、FG)共有幾條?若∠ABC=10°呢?試一試,并簡述理由.
(2)若∠ABC=m°(0<m<90),你能找出一個折線條數(shù)n與m之間的關系嗎?若有,請找出來;若無,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC和△DCB有公共邊BC,且AB=DC,作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,AE=DF,那么求證AC=BD時,需要證明三角形全等的是Rt△ABE≌Rt△DCF,△AEC≌DFB.說明理由.
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