Question

10．圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀圍成一個(gè)正方形．
（1）圖②中的陰影部分是個(gè)正方形（填長(zhǎng)方形或正方形），它的邊長(zhǎng)為m-n；
（2）觀察圖②陰影部分的面積，請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n）²、（m-n）²、mn之間的等量關(guān)系是（m+n）²=（m-n）²+4mn．
（3）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示．
如圖③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

Answer 1

分析 （1）陰影部分的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去寬，即m-n，各角均為直角，可得；
（2）根據(jù)大正方形面積等于邊長(zhǎng)的平方或小正方形面積加4個(gè)小長(zhǎng)方形面積的兩種不同算法，可得等式；
（3）根據(jù)大長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘以寬或6個(gè)矩形面積和的兩種不同算法可列出等式．

解答 解：（1）圖②中陰影部分的邊長(zhǎng)都等于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去小長(zhǎng)方形的寬，即m-n，
由圖可知，陰影部分的四個(gè)角都是直角，故陰影部分是正方形，其邊長(zhǎng)為m-n；
（2）大正方形的面積邊長(zhǎng)的平方，即（m+n）²，或小正方形面積加4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即4mn+（m-n）²，
故可得：（m+n）²=（m-n）²+4mn；
（3）大長(zhǎng)方形的面積為長(zhǎng)×寬，即（2m+n）（m+n），
或者分割成6個(gè)矩形的面積和，即m²+3mn+n²，
故（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²；
故答案為：（1）正方，m-n，（2）（m+n）²=（m-n）²+4mn，（3）（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．