【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置,直角頂點重合在點O處,AB=25,CD=17.保持紙片AOB不動,將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)角度,如圖2所示.

(1)利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD;
(2)當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖3)時,求AC的長和α的正弦值.

【答案】
(1)證明:如圖2中,延長BD交OA于G,交AC于E.

∵∠AOB=∠COD=90°,

∴∠AOC=∠DOB,

在△AOC和△BOD中,

,

∴△AOC≌△BOD,

∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,

∵∠DBO+∠GOB=90°,

∵∠OGB=∠AGE,

∴∠CAO+∠AGE=90°,

∴∠AEG=90°,

∴BD⊥AC.


(2)解:如圖3中,設(shè)AC=x,

∵BD、CD在同一直線上,BD⊥AC,

∴△ABC是直角三角形,

∴AC2+BC2=AB2,

∴x2+(x+17)2=252,

解得x=7,

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,

∴∠α=∠ABC,

∴sinα=sin∠ABC= =


【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOC=∠DOB,得到△AOC≌△BOD(SAS),得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等,即AC=BD,∠CAO=∠DBO,由角的和差和相等的角得到BD⊥AC;(2)由BD、CD在同一直線上,BD⊥AC,得到△ABC是直角三角形,根據(jù)勾股定理得到x2+(x+17)2=252,求出x的值,由角的和差,得到∠α=∠ABC,即sinα=sin∠ABC=.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°),還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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收集數(shù)據(jù)從該年級隨機(jī)抽取30名學(xué)生進(jìn)行測試,測試成績(百分制)如下:

項目 78 86 74 81 75 76 87 49 74 91 75 79 81 71 74 81 86 69 83 77 82 85 92 95 58 54 63 67 82 74

項目 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 100 70 40 84 86 92 96 53 57 63 68 81 75

整理、描述數(shù)據(jù)

項目的頻數(shù)分布表

分組

劃記

頻數(shù)

1

2

2

8

5

(說明:成績80分及以上為優(yōu)秀,6079分為基本達(dá)標(biāo),59分以下為不合格)

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1)補(bǔ)全統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表;

2)在此次測試中,成績更好的項目是__________,理由是__________;

3)假設(shè)該年級學(xué)生都參加此次測試,估計項目和項目成績都是優(yōu)秀的人數(shù)最多為________人.

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