Question

如圖，等邊△ABC中，D、E分別在AB、AC邊上，且CE=2AD，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接EF、BF；
（1）求證：BF平分∠ABC；
（2）M為DF中點，連接CM與BF延長線交于點N，若CN=

5

2

MN，請?zhí)骄緽F與FN的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過E作EH⊥BC于H，連接DH，得出∠CEH=30°，CE=2CH，根據(jù)已知得出DH∥AC，得出△BDH是等邊三角形，進而求得△DHE≌DBF，從而求得∠DBF=30°即可求得結(jié)論．
（2）延長BN交AC于P，連接EM，連接PM并延長交AB于Q，EM與BP交于K，先通過△KPE∽△KMF，得出對應(yīng)邊成比例，進而求得△KPM∽△KEF，得出∠BPM=∠FEM=30°，從而求得PQ∥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△PMN∽△BCN，進而得出對應(yīng)邊的關(guān)系，再通過△QMD∽△ADE，進一步得出對應(yīng)邊的關(guān)系，從而得出BF與FN的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）過E作EH⊥BC于H，連接DH，
∵∠C=60°，
∴∠HEC=30°，
∴CE=2CH，
∵CE=2AD，
∴CH=AD，
∴

CH

BC

=

DA

AB

，
∴HD∥AC，
∴△BHD為等邊三角形，∠DHE=∠HEC=30°，
∴HD=BD，
∵∠EDF=60°，
∴∠HDE=∠BDF，
在△DHE與△DBF中，

HD=BD ∠HDE=∠BDF ED=FD

，
∴△DHE≌DBF  （SAS），
∴∠DBF=∠DHE=30°，
∴∠CBF=∠DBF．

（2）延長BN交AC于P，連接EM，連接PM并延長交AB于Q，EM與BP交于K，
由（1）可知BF是∠ABC的平分線，△DEF是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BPC=9°，
∵△DEF是等邊三角形，M是DF的中點，
∴∠EMF=90°∠FEM=30°，
∴∠BPC=∠EMF=90°，
又∵∠EKP=∠FKM，
∴△KPE∽△KMF，
∴

EK

FK

=

PK

MK

，
∵∠EKF=∠MKP，
∴△KPM∽△KEF，
∴∠BPM=∠FEM=30°，
∴∠BPM=∠PBC=30°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ為等邊三角形，△PMN∽△BCN，
∴MN：CN=PN：BN=PM：BC=2：5，
∵∠A=∠EDF=∠PQA=60°，∠EDQ=∠A+∠AED，∠EDQ=∠EDF+∠MDQ，
∴∠AED=∠MDQ，
∴△QMD∽△ADE，
∴QM：AD=MD：ED=1：2，
 設(shè)PM=4a  BC=10a，PQ=5a  QM=a   AD=2a  CE=4a   PB=5

3

a
∴BN=

25 3

7

a，
由（1）可知EH=BF=2

3

a，
∴FN=

11 3

7

a，
∴BF：FN=14：11
∴BF=

14

11

FN．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線根據(jù)相似三角形是本題的關(guān)鍵和難點．