Question

某縣為了加快新農(nóng)村的建設由供水公司為農(nóng)村建造自來水，從而改善農(nóng)村用水問題．某鎮(zhèn)有三個村莊A、B、C正好位于一個等邊三角形的三個頂點，每兩個村莊相距akm，現(xiàn)計劃在三個村莊聯(lián)合架設一條鋪設水管的線路，共設計了三種方案：
第一套方案：△ABC內(nèi)找一點O，使它到△ABC的三個頂點A、B、C的距離相等；
第二套方案：如圖②，按線路A--B--C進行鋪設；
第三套方案：如圖③，點D為AC的中點，按A--D、D--B、D--C的線路進行鋪設．?
（1）在圖①中用尺規(guī)作圖的方法作出點O；?
（2）求出方案一所需鋪設水管的長度；
（3）你幫忙計算一下，哪種方案最省水管．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）由于三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點，可作△ABC的任意兩邊的垂直平分線，它們的交點即為△ABC的外接圓的圓心；
（2）、（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出三個圖形中的電線長度，然后判斷大小即可．

解答：解：（1）△ABC的外接圓圓心到△ABC的三個頂點A、B、C的距離相等，可作△ABC的任意兩邊的垂直平分線，它們的交點即為△ABC的外接圓的圓心O，如圖①所示．

（2）依題意知，△ABC是等邊三角形．
如圖①，延長AO交BC于點D．則
水管的長度為：3×

CD

cos30°

=3×

a 2

cos30°

=

3

a；

（3）圖②中水管的長度是3a．
圖③中水管的長度是：a+a•sin60°=a+a×

3

2

=

2+ 3

2

a．
由（2）知．圖①中水管的長度是

3

a．
∵3a＞

2+ 3

2

a＞

3

a，
∴方案一最省錢．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)．解答（1）題時，能找到等邊三角形的外接圓圓心是解題的難點．