Question

有一批圓心角為90°，半徑為1的扇形狀下腳料，現(xiàn)利用這批材料截取盡可能大的正方形材料，如圖有兩種截取方法：方法1，如圖（1）所示，正方形OPQR的頂點(diǎn)P、Q、R均在扇形邊界上；方法2，如圖（2）所示，正方形頂點(diǎn)C、D、E、F均在扇形邊界上．圖（1）、圖（2）均為軸對稱圖形．試分別求這兩種截取方法得到的正方形面積．并說明哪種截取方法得到的正方形面積更大？

Answer 1

第一種方法截取的正方形的面積最大

【解析】

試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，分別連接PQ和過O作OG⊥DE，交CF于點(diǎn)H，連接OF，構(gòu)造直角三角形求得正方形的邊長，求得正方形的面積后比較即可．由于正方形內(nèi)接于扇形，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．

【解析】
如圖1所示：

連接OQ，設(shè)正方形OPQR的邊長為x，

則在Rt△OPQ中，

OQ2=OP2+PQ2，即12=x2+x2，

解得x=，

∴S四邊形OPQR=；

如圖2所示，

過O作OG⊥EF，交CD于點(diǎn)H，連接OF，

設(shè)FG=x，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴OH⊥CD，

∴FG=CH=x，

∵∠DOC=90°，H為CD中點(diǎn)，

∴CH=OH，

∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，

在Rt△OFG中，

OF2=GF2+OG2，即12=x2+（3x）2，

解得x=，

∴CF=2x=．

∴S四邊形CDEF=，

∵＞，

∴第一種方法截取的正方形的面積最大．