Question

已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC=

 

；
（2）如圖1，若DE平分∠ABC的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并證明．
（3）如圖2，若BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=

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∠CDN，∠CBE=

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∠CBM），試求∠E的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計算即可得解；
（2）延長DE交BF于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE=

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∠ADC，∠CBF=

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∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長DC交BE于H，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可．

解答：（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案為：180°；

（2）解：延長DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM的外角，
∴∠CDE=

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∠ADC，∠CBF=

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2

∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=

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×180°45°，
延長DC交BE于H，
由三角形的外角性質得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．