【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CE是⊙O切線,C是切點(diǎn),EA交弦BC于點(diǎn)D、交⊙O于點(diǎn)F,連接CF

1)如圖1,求證:∠ECB=∠F+90°

2)如圖2,連接CD,延長BACE于點(diǎn)H,當(dāng)ODBC、HAHE時,求證:ABCE;

3)如圖3,在(2)的條件KEF上,EHFK,SADO,求WE的長.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)WE=

【解析】

1)應(yīng)用切線性質(zhì)和圓周角定理即可證得結(jié)論;
2)過點(diǎn)CCGEFG,連接BF,先證明BDF≌△CDGAAS),再證明ABF≌△ECGAAS),即可得出結(jié)論;
3)先證明ABD≌△ECAASA),再證明ACDDEF為等腰直角三角形,設(shè)FK=a,BF=b,則DF=b,BD=CD=AC=b,AD=AC=2bBC=2b,由勾股定理可得:OB=bAB=CE=b,再根據(jù)SADO=,建立方程可求得b=1,過點(diǎn)CCTABT,過WWREFR,利用勾股定理和相似三角形性質(zhì)即可求得WE

1)證明:如圖1,連接OC,∵OBOC

∴∠OCB=∠B

∴∠F=∠B

∴∠OCB=∠F

CE是⊙O切線,

OCCE

∴∠OCE90°

∵∠ECB=∠OCB+OCE

∴∠ECB=∠F+90°;

2)證明:如圖2,過點(diǎn)CCGEFG,連接BF,則∠CGE=∠CGD90°

AB是⊙O的直徑,

∴∠AFB90°=∠CGE=∠CGD

ODBC

BDCD

BDFCDG中,

,

∴△BDF≌△CDGAAS

BFCG

HAHE

∴∠EAH=∠E

∵∠BAF=∠EAH

∴∠BAF=∠E

ABFECG中,

,

∴△ABF≌△ECGAAS

ABCE;

3)如圖3,過點(diǎn)CCGEFG,連接ACOC,OF,BF

由(2)知:ABCE,∠BAF=∠E

OAOC

∴∠OCA=∠OAC

AB是⊙O的直徑,CE是⊙O切線,

∴∠ACB=∠ECO90°,即∠ECA+OCA=∠ABC+OAC

∴∠ECA=∠ABC

∴△ABD≌△ECAASA

BDAC

BDCD

ACCD

∴△ACD為等腰直角三角形

∴∠ADC45°

∴∠EDF45°

∴△DEF是等腰直角三角形

設(shè)FKa,BFb,則DFb,BDCDACbADAC2b,BC2b,

BDCDOAOB

ODACb,

∵∠BDO90°

OBb

ABCE

SADO,

SBODSCOD,SBOC1

BCOD1,即×2b×b1

b1

ABCE,BF1,ACBC2

AF3

過點(diǎn)CCTABT,則CT==,

OT,

tanCOH,

CHOTCTOC,即: CH×

CH,

EHFKa,

CHCEEHa,

a,解得:a,

FK,EH,

∵△AEH∽△AFO

=,即AEOAAFEH,AE×,

AE2,EKAE+AFFK2+3

WWREFR,易證:BFK∽△WRK

=,設(shè)KRmWR2m

tanWERtanBAF

,即ER6m

EK7m,解得:m

ER,WR

WE=

練習(xí)冊系列答案
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1)求直線l的解析式;

2)若OA′⊥AB,垂足為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

3)如圖2,若將RtAOB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,AB′與直線l相交于點(diǎn)F,點(diǎn)Ex軸上一動點(diǎn),試探究:是否存在點(diǎn)E,使得以點(diǎn)A,E,F為頂點(diǎn)的三角形和△ABB′相似,若存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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