Question

【題目】已知直線y=2x-2與拋物線交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，且m＜n．

（1）當(dāng)m=時(shí)，直接寫(xiě)出該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）.

（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為C，記△ABC的面積為S.

①，求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍；

②當(dāng)時(shí)，求對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式

Answer 1

【答案】（1）（﹣，）；（2）B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣6）；（3）①5≤AB≤9；②或

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)A（1，0）代入中可得n=-2m，結(jié)合m=-2可得二次函數(shù)的解析式，再配方即可求得其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)了；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）①由（2）中所得點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可用含m的代數(shù)式表達(dá)出AB2=，由可得，這樣即可得到AB2在的范圍內(nèi)隨著m的增大而減小，將m=-3和m=-1分別代入AB2的表達(dá)式即可求得AB2的最大值和最小值，由此即可求得對(duì)應(yīng)的AB的最大值和最小值了，從而可得AB的取值范圍；

②設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AB交于點(diǎn)E，由已知條件易得點(diǎn)E的坐標(biāo)為，用含m的代數(shù)式表達(dá)出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣即可由S=S△CEB+S△ACD=，結(jié)合已知條件用列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得對(duì)應(yīng)的m的值，將所得m的值代入拋物線的解析式中即可求得對(duì)應(yīng)的解析式.

試題解析：

（1）∵拋物線y=mx2+mx+n過(guò)點(diǎn)A（1，0），得n=﹣2m，

∴拋物線的解析式為：，

又∵m==-2，

∴拋物線的解析式為，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）；

（2）由 消去y可得：mx2+（m﹣2）x﹣2m+2=0，

即x2+（1﹣）x﹣2+=0， 解得x=1或x=﹣2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣6），

（3）①由勾股定理可得AB2=，

∵，

∴ ，

∴AB2隨的增大而減小，

∴當(dāng)=-3時(shí)，AB2有最大值405，則AB有最大值，

當(dāng)=-1時(shí)，AB2有最小值125，則AB有最小值，

∴線段AB長(zhǎng)度的取值范圍為≤AB≤；

②如下圖，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸交直線AB于點(diǎn)E，

∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣，點(diǎn)E在直線AB：y=2x﹣2上，

∴E（﹣，﹣3），

∵A（1，0），B，且m＜0，設(shè)△ABC的面積為S，

∴S=S△CEB+S△ACD=(+3）（3-）=，解得m=-1或m=，

對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為或.