Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)E，F兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．

（1）試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）FG與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）FG＝．

【解析】

（1）如圖，連接OF，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CD＝BD，即可得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFC＝∠OCF，可得∠OFC＝∠DBC，即可證明OF//DB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可推出∠OFG＝90°，即可得到結(jié)論；

（2）連接DF，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝4，根據(jù)圓周角定理得到∠DFC＝90°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得BF＝BC＝2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

（1）FG與⊙O相切，

理由：如圖，連接OF，

∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG+∠DGF＝180°，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90°，

∴∠OFG＝90°，

∴FG與⊙O相切．

（2）連接DF，

∵CD＝2.5，

∴AB＝2CD＝5，

∵AC=3，

∴BC＝＝4，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠DFC＝90°，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝2，

∵sin∠ABC＝，

即，

∴FG＝．