Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在定直線上．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的式子表示)；

(2)求證：不論為何值，拋物線與定直線的兩交點(diǎn)間的距離恒為定值；

(3)當(dāng)的頂點(diǎn)在軸上，且與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè))時(shí)，在上是否存在兩點(diǎn)、，設(shè)交線段于點(diǎn)，使，且直線將的面積分成的兩部分？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（-2m，-4m-3）；（2）見解析；（3）存在，直線MN的解析式為：y=x+3-2或y=x+3-2．

【解析】

（1）可用配方法將拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式，從而可得出結(jié)果；

（2）設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從而可用含m的代數(shù)式表示x、y，消去m，就可得到x與y的關(guān)系，得出定直線l的解析式，將直線l的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，消去y，求出x，就可得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入直線l的解析式進(jìn)而可得出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式就可解決問題；
（3）先得出C1的解析式，求出A，B，C的坐標(biāo)，再進(jìn)一步得出∠ACB=60°，所以MN∥BC，從而根據(jù)直線BC的解析式可設(shè)MN的解析式為y=x+m．由直線MN將△ABC的面積分成兩部分，設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)T，可分為以下兩種情況：①當(dāng)S△APT:S四邊形PTBC=1:2時(shí)，則S△APT=S△ABC；當(dāng)S△APT:S四邊形PTBC=2:1時(shí)，則S△APT=S△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AT的長，從而可得出點(diǎn)T的坐標(biāo)，代入直線MN的解析式可求出m的值，即可得出結(jié)果．

解：（1）∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=（x+2m）2-4m-3，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2m，-4m-3）；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則有x=-2m①，y=-4m-3②，

由①②消去m得，y=2x-3，
∴定直線l的解析式為y=2x-3．

聯(lián)立拋物線與直線l的解析式得，

，消去y整理得，x2+（4m-2）x+4m2-4m=0，

∴（x+2m）(x+2m-2)=0，∴x1=-2m，x2=2-2m，

∴拋物線與定直線l的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2m，-4m-3），（2-2m，1-4m），

∴d==．

故不論為何值，拋物線與定直線的兩交點(diǎn)間的距離恒為定值；

（3）存在．∵拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，∴-2m=0，即m=0．

∴C1的解析式為y=x2-3，

∴A(-，0)，B（，0），C（0，-3），

∴BO=AO=，OC=3，∴AB=2，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，同理可得∠BCO=30°，

∴∠APN=2∠ACO=60°，∴∠APN=∠ACB=60°，

∴MN∥BC，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則，得k=，

∴設(shè)直線MN的解析式為y=x+m，設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)T，

情況1：如圖①，當(dāng)S△APT:S四邊形PTBC=1:2時(shí)，則S△APT=S△ABC，

又PT∥BC，∴△APT∽△ACB，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2-，0）．

將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入y=x+m得，m=3-2，

∴直線MN的解析式為y=x+3-2．

情況2：如圖②，當(dāng)S△APT:S四邊形PTBC=2:1時(shí)，則S△APT=S△ABC，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2-，0）．

將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入y=x+m得，m=3-2，

∴直線MN的解析式為y=x+3-2．

綜上所述，直線MN的解析式為：y=x+3-2或y=x+3-2．