Question

4．如圖，∠ABC=30°，O是BA上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心作圓與BC相切于D點(diǎn)，交BO于點(diǎn)E，連結(jié)ED，F(xiàn)是OA上的一點(diǎn)，從F作FG⊥AB交BC于點(diǎn)G，BD=$\sqrt{3}$．設(shè)OF=x，四邊形EDGF的面積為y．
（1）求x與y函數(shù)關(guān)系式 （不必求自變量的取值范圍）．
（2）若四邊形EDGF的面積是△BED面積的5倍，試確定FG所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD．則OD⊥BC，由△BOD∽△BGF，推出$\frac{{{S_{△BOD}}}}{{{S_{△BGF}}}}=\frac{{B{D^2}}}{{B{F^2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{{{（2+x）}^2}}}$，即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)題意列出方程，求出OF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

解答 解（1）連結(jié)OD．則OD⊥BC．
∵∠B=30°，BD=$\sqrt{3}$，
∴OD=1，BO=2，
∴BE=BO-OE=1，
BF=2+x，
S_△BED=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵∠B=∠B，∠ODB=∠BFG=90°
∴△BOD∽△BGF，
∴$\frac{{{S_{△BOD}}}}{{{S_{△BGF}}}}=\frac{{B{D^2}}}{{B{F^2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{{{（2+x）}^2}}}$，
∴${S_{△RGF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}$，
∴$y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{x^2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\frac{5}{12}\sqrt{3}$．

（2）由題意：$\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}=5×\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
得：x=1或x=-5（舍）
∴OF=1
∵FG⊥OF
∴FG與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是今天發(fā)這些構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．