【題目】如圖1,二次函數(shù)y= x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)B作軸的垂線,垂足為N,且S△AMO:S四邊形AONB=1:48.
(1)求直線AB和直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn),PD∥x軸,射線PD與拋物線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F.當(dāng)PF與PE的乘積最大時,在線段AB上找一點(diǎn)H(不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),使GH+ BH的值最小,求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+ BH的最小值;
(3)如圖2,直線AB上有一點(diǎn)K(3,4),將二次函數(shù)y= x2﹣2x+1沿直線BC平移,平移的距離是t(t≥0),平移后拋物線上點(diǎn)A,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′,點(diǎn)C′;當(dāng)△A′C′K是直角三角形時,求t的值.
【答案】
(1)解:∵點(diǎn)C是二次函數(shù)y= x2﹣2x+1圖象的頂點(diǎn),
∴C(2,﹣1),
∵AO⊥x軸,BN⊥x軸,
∴△MAO∽△MBN,
∵S△AMO:S四邊形AONB=1:48,
∴S△AMO:S△BMN=1:49,
∴OA:BN=1:7,
∵OA=1
∴BN=7,
把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)= x2﹣2x+1中,可得7= x2﹣2x+1,
∴x1=﹣2(舍),x2=6
∴B(6,7),
∵A的坐標(biāo)為(0,1),
∴直線AB解析式為y=x+1,
∵C(2,﹣1),B(6,7),
∴直線BC解析式為y=2x﹣5.
(2)解:如圖1,
設(shè)點(diǎn)P(x0,x0+1),
∴D( ,x0+1),
∴PE=x0+1,PD=3﹣ x0,
∵∠DPF固定不變,
∴PF:PD的值固定,
∴PE×PF最大時,PE×PD也最大,
PE×PD=(x0+1)(3﹣ x0)=﹣ x02+ x0+3,
∴當(dāng)x0= 時,PE×PD最大,
即:PE×PF最大.此時G(5, )
∵△MNB是等腰直角三角形,
過B作x軸的平行線,
∴ BH=B1H,
GH+ BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值,
∴當(dāng)GH和HB1在一條直線上時,GH+HB1的值最小,
此時H(5,6),最小值為7﹣ =
(3)解:令直線BC與x軸交于點(diǎn)I,
∴I( ,0)
∴IN= ,IN:BN=1:2,
∴沿直線BC平移時,橫坐標(biāo)平移m時,縱坐標(biāo)則平移2m,平移后A′(m,1+2m),C′(2+m,﹣1+2m),
∴A′C′2=8,A′K2=5m2﹣18m+18,C′K2=5m2﹣22m+26,
當(dāng)∠A′KC′=90°時,A′K2+KC′2=A′C′2,解得m= ,此時t= m=2 ± ;
當(dāng)∠KC′A′=90°時,KC′2+A′C′2=A′K2,解得m=4,此時t= m=4 ;
當(dāng)∠KA′C′=90°時,A′C′2+A′K2=KC′2,解得m=0,此時t=0
【解析】(1)根據(jù)S△AMO:S△BMN=1:49可推出OA:BN=1:7,進(jìn)而算出B(6,7),利用待定系數(shù)法求出解析式;(2)最值問題的解決思路就是構(gòu)建函數(shù),用x的代數(shù)式表示PE×PD,GH+ BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值;(3)△A′C′K是直角三角形可分類討論:1.∠A′KC′=90°;2.∠KC′A′=90°;3.∠KA′C′=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,,E是邊CD的中點(diǎn),連接BE并延長與AD的延長線相較于點(diǎn)F.若△BCD是等腰三角形,則四邊形BDFC的面積為_______________。
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【題目】如圖,直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y1=x和y2=﹣2x+6,直線BC與x軸交于點(diǎn)B,直線BA與直線OC相交于點(diǎn)A.
(1)當(dāng)x取何值時y1>y2?
(2)當(dāng)直線BA平分△BOC的面積時,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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【題目】甲乙兩地相距72千米,李磊騎自行車往返兩地一共用了7小時,已知他去時的平均速度比返回時的平均速度快,求李磊去時的平均速度是多少?
小蕓同學(xué)解法如下:
解:設(shè)李磊去時的平均速度是x千米/時,則返回時的平均速度是(1-)x千米/時,由題意得:+=7,…
你認(rèn)為小蕓同學(xué)的解法正確嗎?若正確,請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系,并完成剩下的步驟;若不正確,請說明原因,并完整地求解問題.
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【題目】我市大力發(fā)展綠色交通,構(gòu)建公共綠色交通體系,“共享單車”的投入使用給人們的出行帶來便利.小明隨機(jī)調(diào)查了若干市民租用共享單車的騎車時間t(單位:分),將獲得的數(shù)據(jù)分成四組,繪制了如圖統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,求表示A組(t≤10分)的扇形圓心角的度數(shù);
(4)如果騎共享單車的平均速度為12km/h,請估算,在租用共享單車的市民中,騎車路程不超過6km的人數(shù)所占的百分比.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(2,﹣2).
(1)分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線OA向上平移3個單位長度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在x軸上,直線OC上所有的點(diǎn)坐標(biāo),都是二元一次方程的解,直線AC上所有的點(diǎn)坐標(biāo),都是二元一次方程的解,過C作x軸的平行線,交y軸與點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)如圖②,點(diǎn)M、N分別為線段BC,OA上的兩個動點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動,同時點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒1.5個單位長度的速度向右運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,且0<t<4,試比較四邊形MNAC的面積與四邊形MNOB的面積的大小.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,過點(diǎn)O作OD⊥AC于D,下列四個結(jié)論:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+∠A;
③點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等;
④設(shè)OD=m,AE+AF=n,則.
其中正確的結(jié)論是____.(填序號)
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【題目】(1)如圖1,a∥b,則∠1+∠2=
(2)如圖2,AB∥CD,則∠1+∠2+∠3= ,并說明理由
(3)如圖3,a∥b,則∠1+∠2+∠3+∠4=
(4)如圖4,a∥b,根據(jù)以上結(jié)論,試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= (直接寫出你的結(jié)論,無需說明理由)
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