Question

19．已知關于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0滿足|x₁-x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k+1=0和k+1≠0兩種情況考慮：當k+1=0時，方程為一元一次方程，有實數(shù)根；當k+1≠0時，根的判別式△=（k-3）²≥0，由此可得出方程有實數(shù)根．綜上即可證出結論；
（2）由方程有兩個實數(shù)根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x₁、x₂的值，由x₁=-1和x₂為整數(shù)以及k為正整數(shù)，即可求出k的值；
（3）結合（2）的結論即可得出關于k的含絕對值符號的分式方程，解方程即可得出結論，經(jīng)檢驗后，此題得解．

解答 解：（1）證明：當k+1=0，即k=-1時，原方程為-4x-4=0，
解得：x=-1；
當k+1≠0，即k≠-1時，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²≥0，
∴方程有實數(shù)根．
綜上可知：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根．
（2）∵方程有兩個整數(shù)根，
∴x₁=$\frac{1-3k+（k-3）}{2（k+1）}$=-1，x₂=$\frac{1-3k-（k-3）}{2（k+1）}$=$\frac{2（1-k）}{k+1}$=-2+$\frac{4}{k+1}$，且k≠-1，
∵x₂為整數(shù)，k為正整數(shù)，
∴k=1或k=3．
（3）由（2）得x₁=-1，x₂=-2+$\frac{4}{k+1}$，且k≠-1，
∴|x₁-x₂|=|-1-（-2+$\frac{4}{k+1}$）|=|1-$\frac{4}{k+1}$|=3，
解得：k=2或k=-1（舍去），
經(jīng)檢驗k=2是原方程的解．
故k的值為2．

點評 本題考查了根的判別式、解含絕對值符號的分式方程以及利用公式法解方程，解題的關鍵是：（1）分k+1=0和k+1≠0兩種情況考慮；（2）找出x₁=-1，x₂=-2+$\frac{4}{k+1}$；（3）找出關于k的含絕對值符號的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用根的判別式的符號得出方程解的情況是關鍵．