Question

【題目】細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根與系數(shù)之間的“秘密”關(guān)系．

（1）當(dāng)x＝1時有a+b+c＝0，當(dāng)x＝﹣1時有a﹣b+c＝0．若9a+c＝3b，求x；

（2）若2a+b＝0，3a+c＝0，寫出滿足條件的一個一元二次方程，并求另一個根；

（3）當(dāng)老師寫出方程2x2﹣3x﹣1＝0，要求不解方程判斷根的情況時，小明立即回答，有兩個不相等的實數(shù)根．據(jù)此，你能根據(jù)一元二次方程系數(shù)a、b、c的符號以及相互之間的數(shù)量關(guān)系，寫出一些關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根與系數(shù)之間的規(guī)律嗎？請寫一寫（至少兩條）．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣3（2）x2-3x-4=0;x2＝4；（3）見解析.

【解析】

（1）直接通過觀察對比可得出答案.

（2）由題意可知一個根為-1，再舉例即可.

（3）根據(jù)根的判別式和韋達(dá)定理解答即可.

（1）∵9a+c＝3b，

∴9a﹣3b+c＝0，

∴x＝﹣3，

（2）∵

②﹣①得：a﹣b+c＝0，

∴x＝﹣1，

符合條件的方程可以為：x2﹣3x﹣4＝0，

（x﹣4）（x+1）＝0，

x1＝4，x2＝﹣1，

（3）2x2﹣3x﹣1＝0，

因為a＝2，c＝﹣1，可知：ac＜0，

∴△＝b2﹣4ac＞0，

根據(jù)一元二次方程系數(shù)a、b、c的符號以及相互之間的數(shù)量關(guān)系，有：①當(dāng)a與c異號時，△＞0，方程有兩個不相等的實根；

②設(shè)方程ax2+bx+c＝0的兩根x1、x2，滿足x1+x2＝，x1x2＝．