Question

10．k是正整數(shù)，a_k，b_k是關(guān)于x的方程x²-[（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$]x-1=0的兩個(gè)根，那么$\frac{1}{{a}_{1}+_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2011}+_{2011}}$=$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．

Answer 1

分析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得出a_k+b_k的值，取其倒數(shù)進(jìn)行化簡后得$\frac{1}{{a}_{k}+_{k}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，將其代入所給算式中即可得出結(jié)論．

解答 解：∵a_k，b_k是關(guān)于x的方程x²-[（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$]x-1=0的兩個(gè)根，
∴a_k+b_k=（k+1）$\sqrt{k}$+k$\sqrt{k+1}$，$\frac{1}{{a}_{k}+_{k}}$=$\frac{1}{（k+1）\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2011}+_{2011}}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2011}}$-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$=$\frac{2012-\sqrt{2012}}{2012}$=$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．
故答案為：$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的化簡，解題的關(guān)鍵是找出$\frac{1}{{a}_{k}+_{k}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根的和，將其代入所給算式中求和即可．