Question

20．已知拋物線(xiàn)y=x²+mx+n，點(diǎn)M（1，-2）在拋物線(xiàn)上．
（1）求n與m之間的關(guān)系式；
（2）若n與m都是整數(shù)，試問(wèn)關(guān)于x的方程x²+mx+n=0是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請(qǐng)把它們求出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)給出證明；
（3）若當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，拋物線(xiàn)y=x²+mx+n有最小值-3，求n與m的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)M代入即可解決問(wèn)題．
（2）由△=m²+4m+12=（m+2）²+8，因?yàn)橛姓麛?shù)解，設(shè)△=（m+2）²+8=a²，根據(jù)（a+m+2）（a-m-2）=8，a+m+2，a-m-2奇偶相同，列出方程組即可求出m解決問(wèn)題．
（3）分三種情形①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，②當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{m}{2}$≤$\frac{3}{2}$③當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞$\frac{3}{2}$，分別列出方程解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M（1，-2）在拋物線(xiàn)y=x²+mx+n上
∴-2=1+m+n，
∴n=-3-m；
（2）x²+mx+n=0，
△=m²+4m+12=（m+2）²+8，
∵有整數(shù)解，
∴設(shè)△=（m+2）²+8=a²，
∵（a+m+2）（a-m-2）=8
∵a+m+2，a-m-2奇偶相同，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=2}\\{a-m-2=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=4}\\{a-m-2=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=-2}\\{a-m-2=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=-4}\\{a-m-2=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{m=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{m=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{m=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
①當(dāng)m=-3時(shí)，方程為x²-x-2=0滿(mǎn)足條件，
∴x₁=2，x₂=-1，
②當(dāng)m=-1時(shí)，方程為x²-3x=0滿(mǎn)足條件，
∴x₁=0，x₂=3；
（3）∵y=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$-m-3，
①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，x=-$\frac{3}{2}$，y=-3，
∴$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$m-m-3=-3，
∴m=$\frac{9}{10}$
∵m≥3，
∴m=$\frac{9}{10}$不符合題意，
②當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{m}{2}$≤$\frac{3}{2}$時(shí)，x=-$\frac{m}{2}$時(shí)，y=-3，
∴-$\frac{1}{4}$m²-m-3=-3，
∴m=0或-4．
m=-4不符合題意，
∴m=0，
③當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞$\frac{3}{2}$時(shí)，x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y=-3，
∴$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$m-3-m=-3，
∴m=-$\frac{9}{2}$．
綜上所述：m=0，n=-3或m=-$\frac{9}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．