【題目】四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)E作EF⊥DE,交射線BC于點(diǎn)F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
(1)如圖,求證:矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2,CE=2,求CG的長(zhǎng);
(3)當(dāng)直線DE與正方形ABCD的某條邊所夾銳角是40°時(shí),直接寫出∠EFC的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)CG=2; (3)130°或40°.
【解析】
(1)作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,證明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED,根據(jù)正方形的判定定理證明即可;
(2)通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn),點(diǎn)F與C重合,△CDG是等腰直角三角形,由此即可解決問題;
(3)分兩種情形考慮問題即可.
(1)證明:作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,
∵∠DCA=∠BCA,
∴EQ=EP,
∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC=45°,
∴∠QEF=∠PED,
在Rt△EQF和Rt△EPD中,
,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA),
∴EF=ED,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)如圖2中,在Rt△ABC中.AC=AB=4,
∵EC=2,
∴AE=CE,
∴點(diǎn)F與C重合,此時(shí)△DCG是等腰直角三角形,易知CG=2;
(3)①如圖3,當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí),
∠DEC=45°+40°=85°,
∵∠DEF=90°,
∴∠CEF=5°,
∵∠ECF=45°,
∴∠EFC=130°,
②如圖4,當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí),
∵∠DEF=∠DCF=90°,
∴∠EFC=∠DEC=40°,
綜上所述,∠EFC=130°或40°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=3時(shí),y有最小值﹣4,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,12).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)該拋物線交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,在拋物線對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求PA+PC的最小值,并求當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,CD=2DE.若△DEF的面積為a,則平行四邊形ABCD的面積為 ▲ (用a的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC,將沿BC所在的直線翻折,得到,連接OD.
(1)用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)如圖1,若點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上,且在x軸上方,求拋物線的解析式.
(3)設(shè)的面積為S1,的面積為S2,若,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是ABCD的對(duì)角線,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心,大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于E,F兩點(diǎn);②作直線EF,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,連接BM,DN.若BD=8,MN=6,則ABCD的邊BC上的高為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具,進(jìn)價(jià)為每件30元,物價(jià)部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進(jìn)價(jià)的.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),這種兒童玩具每天的銷售量(件與銷售單價(jià)(元滿足一次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí),每天的銷售量為350件;當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí),每天的銷售量為300件.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí),該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大,最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,CE是中線,△ACD與△ACE關(guān)于直線AC對(duì)稱.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)求證:BC=ED.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,以EC、CF為鄰邊作ECFG.
(1)如圖1,證明ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=120°,連接BG、CG,并求出∠BDG的度數(shù):
(3)如圖3,若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中點(diǎn),求DM的長(zhǎng).
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【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列說法:
①若a+b+c=0,則b2﹣4ac>0;
②若方程兩根為﹣1和2,則2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根;
④若b=2a+c,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.其中正確的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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