Question

15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）求證：AD+BC=AB；
（3）若S_△ABE=4，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）延長AE交BC的延長線于M，由平行線的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠M，證出AB=MB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABE=∠CBE即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出AE=ME，DE=CE，由SAS證明△ADE≌△MCE，得出AD=MC，即可得出結(jié)論；
（3）證出△MBE的面積=△ABE的面積=4，得出△ABM的面積=8，由全等三角形的性質(zhì)得出△ADE的面積=△MCE的面積，得出梯形ABCD的面積=△ABM的面積=8即可．

解答 （1）證明：延長AE交BC的延長線于M，如圖所示：
∵AD∥BC，
∴∠M=∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠M，
∴AB=MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）證明：∵AB=MB，BE⊥AE，
∴AE=ME，
∵E是CD的中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△MCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=ME}&{\;}\\{∠AED=∠MEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD=MC，
∴AD+BC=MC+BC=MB=AB；
（3）解：∵AB=MB，AE=ME，
∴△MBE的面積=△ABE的面積=4，
∴△ABM的面積=2×4=8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面積=△MCE的面積，
∴梯形ABCD的面積=△ABM的面積=8．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、梯形面積的計算；本題綜合性強，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．