【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x﹣3與y軸交于點A,點A與點B關(guān)于x軸對稱,過點B作y軸的垂線l,直線l與直線y=2x﹣3交于點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)如果拋物線y=nx2﹣4nx+5n(n>0)與線段BC有唯一公共點,求n的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵直線y=2x﹣3與y軸交于點A(0,﹣3),

∴點A關(guān)于x軸的對稱點B(0,3),l為直線y=3,

∵直線y=2x﹣3與直線l交于點C,

∴點C坐標(biāo)為(3,3),


(2)解:∵拋物線y=nx2﹣4nx+5n(n>0),

∴y=nx2﹣4nx+4n+n=n(x﹣2)2+n(n>0)

∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標(biāo)為(2,n),

∵點B(0,3),點C(3,3),

①當(dāng)n>3時,拋物線的最小值為n>3,與線段BC無公共點;

②當(dāng)n=3時,拋物線的頂點為(2,3),在線段BC上,此時拋物線與線段BC有一個公共點;

③當(dāng)0<n<3時,拋物線最小值為n,與線段BC有兩個公共點;

如果拋物線y=n(x﹣2)2+n經(jīng)過點B,則3=5n,解得n=

由拋物線的對稱軸為直線x=2,可知拋物線經(jīng)過點(4,3),

點(4,3)不在線段BC上,此時拋物線與線段BC有一個公共點B;

如果拋物線y=n(x﹣2)2+n經(jīng)過點C,則3=2n,解得n=

由拋物線的對稱軸為直線x=2,可知拋物線經(jīng)過點(1,3),

點(1,3)在線段BC上,此時拋物線與線段BC有兩個公共點;

綜上所述,當(dāng) ≤n< 或n=3時,拋物線與線段BC有一個公共點.


【解析】(1)根據(jù)題意分別求出點A、B、C的坐標(biāo);(2)求得拋物線的對稱軸,頂點的坐標(biāo);再分類討論①當(dāng)n>3時;②當(dāng)n=3時;③當(dāng)0<n<3時,拋物線y=nx2﹣4nx+5n(n>0)與線段BC有唯一公共點,求n的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):(1)當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減。辉鰷p性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

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