【題目】如圖①,在等腰直角三角形BCD中,∠BDC=90°, BF平分∠DBC,與CD相交于點F,延長BD到A,使DA=DF.
(1)求證:△FBD≌△ACD;
(2)延長BF交AC于點E,且BE⊥AC,求證:CE=BF;
(3)在(2)的條件下,H是BC邊的中點,連接DH,與BE相交于點G,如圖②. 試探索CE,GE,BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)∵,
又∵;
∴,--------------------------3分
(2)∴,∴
又∵平分,∴
又∵,∴,
又∵
∴,∴
∴----------------------------- 7分
(3),,之間的數(shù)量關(guān)系為:
連結(jié)CG,∵,H是邊的中點,
∴是的中垂線,
∴在中有:
∴-------------------------------------------------10分
【解析】
(1)由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC,且∠BDF=∠ADC=90°,與已知DA=DF通過SAS證得△FBD≌△ACD;
(2)先由(1)△FBD≌△ACD得出BF=AC,再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE,即得CE=AE=AC,從而得出結(jié)論;
(3)連接CG,由H是BC邊的中點和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG,再由直角三角形CEG得出CG2=CE2+GE2,從而得出CE,GE,BG的關(guān)系.
(1)證明:∵△BCD是等腰直角三角形,且∠BDC=90°,∴BD=CD,∠BDC=∠CDA=90°.
在△FBD和△ACD中,
∴△FBD≌△ACD(SAS).
(2)證明:∵BE⊥AC,
∴∠BEA=∠BEC=90°.
∵BF平分∠DBC,
∴∠ABE=∠CBE,
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴AE=CE.
∴CE=AC.
由(1)知△FBD≌△ACD,
∴BF=CA,
∴CE=BF.
(3)解:BG2=GE2+CE2.證明如下:連接CG,
∵H是BC邊的中點,BD=CD,
∴HD垂直平分BC,
∴BG=CG(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等).
∵BE⊥AC,
∴在Rt△CEG中,CG2=GE2+CE2,
∴BG2=GE2+CE2.
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【題目】對于下列各組條件,不能判定△≌△的一組是 ( )
A. ∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′
B. ∠A=∠A′,AB=A′B′,AC=A′C′
C. ∠A=∠A′,AB=A′B′,BC=B′C′
D. AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′
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【題目】下表是小華同學(xué)一個學(xué)期數(shù)學(xué)成績的記錄.根據(jù)表格提供的信息,回答下列的問題:
考試類別 | 平時考試 | 期中考試 | 期末考試 | |||
第一單元 | 第二單元 | 第三單元 | 第四單元 | |||
成績(分) | 85 | 78 | 90 | 91 | 90 | 94 |
(1)小明6次成績的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(2)求該同學(xué)這個同學(xué)這一學(xué)期平時成績的平均數(shù);
(3)總評成績權(quán)重規(guī)定如下:平時成績占20%,期中成績占30%,期末成績占50%,請計算出小華同學(xué)這一個學(xué)期的總評成績是多少分?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,將△BCD沿BD折疊,使點C落在AB邊的C′點處,那么△ADC′的面積是________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x﹣3與y軸交于點A,點A與點B關(guān)于x軸對稱,過點B作y軸的垂線l,直線l與直線y=2x﹣3交于點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)如果拋物線y=nx2﹣4nx+5n(n>0)與線段BC有唯一公共點,求n的取值范圍.
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【題目】已知,如圖,∠XOY=90°,點A、B分別在射線OX、OY上移動,BE是∠ABY的平分線,BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C,試問∠ACB的大小是否發(fā)生變化?如果保持不變,請給出證明;如果隨點A、B移動發(fā)生變化,請求出變化范圍.
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【題目】徐州至北京的高鐵里程約為700km,甲、乙兩人從徐州出發(fā),分別乘坐“徐州號”高鐵A與“復(fù)興號”高鐵B前往北京.已知A車的平均速度比B車的平均速度慢80km/h,A車的行駛時間比B車的行駛時間多40%,兩車的行駛時間分別為多少?
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【題目】(10分)已知△ABC是等邊三角形,點D是直線BC上一點,以AD為一邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE.
(1)如圖①,點D在線段BC上移動時,直接寫出∠BAD和∠CAE的大小關(guān)系;
(2)如圖②,點D在線段BC的延長線上移動時,猜想∠DCE的大小是否發(fā)生變化.若不變請求出其大。蝗糇兓,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,DM垂直平分AC,交BC于點D,連接AD,若∠C=28°,AB=BD,則∠B的度數(shù)為_____度.
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