Question

5．已知拋物線y=mx²+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B
（1）求m的取值范圍；
（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)$\frac{1}{4}$＜m≤8時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對(duì)應(yīng)的m值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出△=（1-2m）²-4×m×（1-3m）=（1-4m）²＞0，得出1-4m≠0，解不等式即可；
（2）y=m（x²-2x-3）+x+1，故只要x²-2x-3=0，那么y的值便與m無(wú)關(guān)，解得x=3或x=-1（舍去，此時(shí)y=0，在坐標(biāo)軸上），故定點(diǎn)為（3，4）；
（3）由|AB|=|x_A-x_B|得出|AB|=|$\frac{1}{m}$-4|，由已知條件得出$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{m}$＜4，得出0＜|$\frac{1}{m}$-4|≤$\frac{31}{8}$，因此|AB|最大時(shí)，|$\frac{1}{m}-4$|=$\frac{31}{8}$，解方程得出m=8，或m=$\frac{8}{63}$（舍去），即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；
當(dāng)m≠0時(shí)，
∵拋物線y=mx²+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=（1-2m）²-4×m×（1-3m）=（1-4m）²＞0，
∴1-4m≠0，
∴m≠$\frac{1}{4}$，
∴m的取值范圍為m≠0且m≠$\frac{1}{4}$；
（2）證明：∵拋物線y=mx²+（1-2m）x+1-3m，
∴y=m（x²-2x-3）+x+1，
拋物線過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明在這一點(diǎn)y與m無(wú)關(guān)，
顯然當(dāng)x²-2x-3=0時(shí)，y與m無(wú)關(guān)，
解得：x=3或x=-1，
當(dāng)x=3時(shí)，y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；
當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∵P不在坐標(biāo)軸上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|x_A-x_B|=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{（1-2m）^{2}-4m（1-3m）}}{|m|}$=$\sqrt{\frac{1-4m+4{m}^{2}-4m+12{m}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（1-4m）^{2}}{{m}^{2}}}$=|$\frac{1-4m}{m}$|=|$\frac{1}{m}$-4|，
∵$\frac{1}{4}$＜m≤8，
∴$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{m}$＜4，
∴-$\frac{31}{8}$≤$\frac{1}{m}$-4＜0，
∴0＜|$\frac{1}{m}$-4|≤$\frac{31}{8}$，
∴|AB|最大時(shí)，|$\frac{1}{m}-4$|=$\frac{31}{8}$，
解得：m=8，或m=$\frac{8}{63}$（舍去），
∴當(dāng)m=8時(shí)，|AB|有最大值$\frac{31}{8}$，
此時(shí)△ABP的面積最大，沒(méi)有最小值，
則面積最大為：$\frac{1}{2}$|AB|y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{31}{8}$×4=$\frac{31}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式以及最值問(wèn)題等知識(shí)；本題難度較大，根據(jù)題意得出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．