【題目】綜合與實踐
問題情境:在數(shù)學活動課上,我們給出如下定義:順次連按任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.如圖(1),在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.試說明中點四邊形EFGH是平行四邊形.
探究展示:勤奮小組的解題思路:
反思交流:
(1)①上述解題思路中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是什么?
依據(jù)1: ;依據(jù)2: ;
②連接AC,若AC=BD時,則中點四邊形EFGH的形狀為 ;
創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)探究:
(2)如圖(2),點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并說明理由;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其它條件不變,則中點四邊形EFGH的形狀為 .
【答案】(1)①依據(jù)1:三角形的中位線定理.依據(jù)2:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.②菱形.理由見解析;(2)四邊形EFGH是菱形.理由見解析;(3)正方形.理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)三角形中位線定理解答即可;
(2)根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定解答即可.
(3)根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形即可證明.
(1)①依據(jù)1:三角形的中位線定理.
依據(jù)2:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
②菱形.
理由:如圖1中,
∵AE=BE,AH=HD,
∴EH=BD,
∵DH=HA,DG=GC,
∴HG=AC,
∴HE=HG,
∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是菱形.
故答案為三角形中位線定理,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,菱形.
(2)結(jié)論:四邊形EFGH是菱形.
理由:如圖2中,連接AC,BD
∵∠APB=∠CPD
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即:∠BPD=∠APC
∵PA=PB,PC=PD
∴△APC≌△BPD
∴AC=BD
∴HG=HE
由(1)可知:四邊形EFGH是平行四邊形
∴四邊形EFGH是菱形.
(3)結(jié)論:正方形.
理由:如圖2﹣1中,連接AC,BD,BD交AC于點O,交GH于點K,AC交PD于點J.
∵△APC≌△BPD,∠DPC=90°,
∴∠PDB=∠PCA,
∵∠PJC=∠DJO,
∴∠CPJ=∠DOJ=90°,
∵HG∥AC,
∴∠BKG=∠BOC=90°,
∵EH∥BD,
∴∠EHG=∠BKG=90°,
∵四邊形EFGH是菱形,
∴四邊形EFGH是正方形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB與⊙O相切于點C,OA,OB分別交⊙O于點D,E, =
(1)求證:OA=OB;
(2)已知AB=4 ,OA=4,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線AB與x軸交于點A(1,0),與y軸交于點B(0,-2).
(1)求直線AB的表達式;
(2)若直線AB上有一動點C,且,求點C的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,則BE與DF有何位置關(guān)系?試說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直徑,點P是CD延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AB=4+ ,BC=2 ,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了增強學生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的理解,決定購買一批相關(guān)的書籍.據(jù)了解,經(jīng)典著作的單價比傳說故事的單價多6元,用10000元購買經(jīng)典著作與用7000元購買傳說故事的本數(shù)相同,這兩類書籍的單價各是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足為E.
(1)求證:△ABD≌△ECB;
(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象分別與軸交于兩點,正比例函數(shù)的圖象與交于點
(1)求的值及的解析式;
(2)求的值;
(3)一次函數(shù)的圖象為且不能圍成三角形,直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O交BC的中點于D,DE⊥AC于E,連接AD,則下列結(jié)論:
①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA= AC;④DE是⊙O的切線,正確的個數(shù)是( )
A.1 個
B.2個
C.3 個
D.4個
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