Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=BC，⊙O是經(jīng)過A、B、C三點的圓，點P是

BC

上的一個動點（點P不與B、C點重合），連接PA、PB、PC．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）①點P滿足什么條件時，有△CPA≌△ABC，請說明理由；
②請直接寫出點P滿足什么條件時，有BP⊥CD．（不必說明理由）

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）作CE⊥AB于E，由于CA=CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CE為AB的垂直平分線，則點O在CE上，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，所以CE⊥CD，即OC⊥CD，于是根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）①當AC=AP時，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，則∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根據(jù)圓周角定理得∠ABC=∠APC，則∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；
②當BP∥CE，BP⊥CD．理由為：由CE⊥CD，則當BP∥CF時，BP⊥CD．

解答：（1）解：CD與⊙O相切．理由如下：
作CE⊥AB于E，如圖，
∵CA=CB，
∴CE平分AB，即CE為AB的垂直平分線，
∴點O在CE上，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴CE⊥CD，即OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）當AC=AP時，△CPA≌△ABC．
證明如下：∵AC=BC，AC=AP，
∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，
∵∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ACP，
而AC=CA，
∴△CPA≌△ABC，
②當BP∥CE，BP⊥CD．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．